与えられた等式 $3x^2 - 5x + 7 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $3x^2 - 5x + 7 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を展開し、整理します。

\begin{align*}

a(x-1)^2 + b(x-1) + c &= a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c \\

&= ax^2 - 2ax + a + bx - b + c \\

&= ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)

\end{align*}

この式が $3x^2 - 5x + 7$ と恒等的に等しいので、各項の係数を比較します。

$x^2$ の係数を比較すると、

$a = 3$

$x$ の係数を比較すると、

$-2a + b = -5$

$a=3$を代入して

$-2(3) + b = -5$

$-6 + b = -5$

$b = 1$

定数項を比較すると、

$a - b + c = 7$

$a=3$, $b=1$を代入して

$3 - 1 + c = 7$

$2 + c = 7$

$c = 5$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 1$

$c = 5$