オイラーの公式を用いて、複素数の除算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

オイラーの公式を用いて、複素数の除算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数の除算を行うために、分母の共役複素数を分母分子にかけます。分母の共役複素数は $-1 - \sqrt{3}i$ です。

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)}$

次に、分子と分母をそれぞれ展開します。

分子:

$(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i) = (-2)(-1) + (-2)(-\sqrt{3}i) + (2i)(-1) + (2i)(-\sqrt{3}i)$

$= 2 + 2\sqrt{3}i - 2i - 2\sqrt{3}i^2$

$= 2 + 2\sqrt{3}i - 2i + 2\sqrt{3}$

$= (2+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3}-2)i$

分母:

$(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i) = (-1)(-1) + (-1)(-\sqrt{3}i) + (\sqrt{3}i)(-1) + (\sqrt{3}i)(-\sqrt{3}i)$

$= 1 + \sqrt{3}i - \sqrt{3}i - 3i^2$

$= 1 + 3$

$= 4$

したがって、

$\frac{(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)} = \frac{(2+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3}-2)i}{4}$

$= \frac{2+2\sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}-2}{4}i$

$= \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$

ここで、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を用いることを考えます。複素数 $z = x + iy$ を極形式で表すと、$z = re^{i\theta}$ となります。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ であり、$\theta$ は $\cos\theta = \frac{x}{r}$ および $\sin\theta = \frac{y}{r}$ を満たす角です。

$x = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ なので、$r = \sqrt{(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2}$ を計算します。

$r = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4} + \frac{3-2\sqrt{3}+1}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$

したがって、

$\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{12} (=\frac{7\pi}{12})$ であるから,

$e^{i\theta} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{12})+i\sin(\frac{\pi}{12}))$

3. 最終的な答え

$\frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$

もしくは

$\frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$