オイラーの公式を用いて、複素数の除算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を計算する問題です。

代数学複素数複素数の除算オイラーの公式極形式
2025/7/9

1. 問題の内容

オイラーの公式を用いて、複素数の除算 2+2i1+3i\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数の除算を行うために、分母の共役複素数を分母分子にかけます。分母の共役複素数は 13i-1 - \sqrt{3}i です。
2+2i1+3i=(2+2i)(13i)(1+3i)(13i)\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)}
次に、分子と分母をそれぞれ展開します。
分子:
(2+2i)(13i)=(2)(1)+(2)(3i)+(2i)(1)+(2i)(3i)(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i) = (-2)(-1) + (-2)(-\sqrt{3}i) + (2i)(-1) + (2i)(-\sqrt{3}i)
=2+23i2i23i2= 2 + 2\sqrt{3}i - 2i - 2\sqrt{3}i^2
=2+23i2i+23= 2 + 2\sqrt{3}i - 2i + 2\sqrt{3}
=(2+23)+(232)i= (2+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3}-2)i
分母:
(1+3i)(13i)=(1)(1)+(1)(3i)+(3i)(1)+(3i)(3i)(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i) = (-1)(-1) + (-1)(-\sqrt{3}i) + (\sqrt{3}i)(-1) + (\sqrt{3}i)(-\sqrt{3}i)
=1+3i3i3i2= 1 + \sqrt{3}i - \sqrt{3}i - 3i^2
=1+3= 1 + 3
=4= 4
したがって、
(2+2i)(13i)(1+3i)(13i)=(2+23)+(232)i4\frac{(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)} = \frac{(2+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3}-2)i}{4}
=2+234+2324i= \frac{2+2\sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}-2}{4}i
=1+32+312i= \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i
ここで、オイラーの公式 eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta を用いることを考えます。複素数 z=x+iyz = x + iy を極形式で表すと、z=reiθz = re^{i\theta} となります。ここで、r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2} であり、θ\thetacosθ=xr\cos\theta = \frac{x}{r} および sinθ=yr\sin\theta = \frac{y}{r} を満たす角です。
x=1+32x = \frac{1+\sqrt{3}}{2}y=312y = \frac{\sqrt{3}-1}{2} なので、r=(1+32)2+(312)2r = \sqrt{(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2} を計算します。
r=1+23+34+323+14=84=2r = \sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4} + \frac{3-2\sqrt{3}+1}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}
したがって、
cosθ=xr=1+322=1+322=2+64\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}
sinθ=yr=3122=3122=624\sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
θ=π12(=7π12)\theta = \frac{\pi}{12} (=\frac{7\pi}{12}) であるから,
eiθ=2eiπ12=2(cos(π12)+isin(π12))e^{i\theta} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}} = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{12})+i\sin(\frac{\pi}{12}))

3. 最終的な答え

1+32+312i=2eiπ12\frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}
もしくは
1+32+312i\frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i

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