$t$ を0でない実数の定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3tx + 6t = 0$ と $tx^2 + x + 2t = 0$ が共通の実数解をもつとき、共通の実数解と $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$t$ を0でない実数の定数とする。2つの2次方程式 $x^2 - 3tx + 6t = 0$ と $tx^2 + x + 2t = 0$ が共通の実数解をもつとき、共通の実数解と $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

共通の実数解を $\alpha$ とおくと、

$$\alpha^2 - 3t\alpha + 6t = 0 \quad \cdots (1)$$

$$t\alpha^2 + \alpha + 2t = 0 \quad \cdots (2)$$

(1) $\times t$ - (2) より

$$t\alpha^2 - 3t^2\alpha + 6t^2 - (t\alpha^2 + \alpha + 2t) = 0$$

$$-3t^2\alpha - \alpha + 6t^2 - 2t = 0$$

$$-(3t^2 + 1)\alpha + 2t(3t - 1) = 0$$

$$(3t^2 + 1)\alpha = 2t(3t - 1)$$

$\alpha = \frac{2t(3t - 1)}{3t^2 + 1} \quad \cdots (3)$

(3)を(1)に代入して

$$(\frac{2t(3t - 1)}{3t^2 + 1})^2 - 3t\frac{2t(3t - 1)}{3t^2 + 1} + 6t = 0$$

$$4t^2(3t - 1)^2 - 6t^2(3t - 1)(3t^2 + 1) + 6t(3t^2 + 1)^2 = 0$$

$t \neq 0$ より、$t$ で割って

$$2t(3t - 1)^2 - 3t(3t - 1)(3t^2 + 1) + 3(3t^2 + 1)^2 = 0$$

$$2t(9t^2 - 6t + 1) - 3t(9t^3 - 3t^2 + 3t - 1) + 3(9t^4 + 6t^2 + 1) = 0$$

$$18t^3 - 12t^2 + 2t - 27t^4 + 9t^3 - 9t^2 + 3t + 27t^4 + 18t^2 + 3 = 0$$

$$27t^3 - 3t^2 + 5t + 3 = 0$$

ここで、$t = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$$27(-\frac{1}{27}) - 3(\frac{1}{9}) + 5(-\frac{1}{3}) + 3 = -1 - \frac{1}{3} - \frac{5}{3} + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$$

したがって、$t = -\frac{1}{3}$ は解である。

$$(t + \frac{1}{3})(27t^2 - 12t + 9) = 0$$

$$(3t + 1)(9t^2 - 4t + 3) = 0$$

$9t^2 - 4t + 3 = 0$ の判別式は、$D = (-4)^2 - 4(9)(3) = 16 - 108 = -92 < 0$ なので、実数解を持たない。

したがって、$t = -\frac{1}{3}$ である。

$\alpha = \frac{2t(3t - 1)}{3t^2 + 1} = \frac{2(-\frac{1}{3})(-1 - 1)}{3(\frac{1}{9}) + 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = 1$

3. 最終的な答え

共通の実数解は $1$ で、$t = -\frac{1}{3}$