次の4つの指数方程式を解きます。 (1) $(3^x)^2 - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$ (2) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$ (3) $2^{2x+1} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$ (4) $\frac{2}{(3^x)^2} - \frac{3}{3^x} - 9 = 0$

1. 問題の内容

次の4つの指数方程式を解きます。

(1) $(3^x)^2 - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$

(2) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x - 4 = 0$

(3) $2^{2x+1} - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

(4) $\frac{2}{(3^x)^2} - \frac{3}{3^x} - 9 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $3^x = t$ とおくと、$t^2 - 12t + 27 = 0$ となります。

これを解くと、$(t-3)(t-9)=0$ より $t=3, 9$

よって、$3^x = 3, 9$ となり、$x=1, 2$

(2) $3^x = t$ とおくと、$9^x = (3^x)^2 = t^2$ より、$3t^2 + 11t - 4 = 0$ となります。

これを解くと、$(3t-1)(t+4) = 0$ より、$t = \frac{1}{3}, -4$

$3^x = \frac{1}{3}, -4$ となりますが、$3^x > 0$ より、$3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1}$

よって、$x=-1$

(3) $2^x = t$ とおくと、$2^{2x+1} = 2 \cdot (2^x)^2 = 2t^2$ より、$2t^2 - 7t - 4 = 0$ となります。

これを解くと、$(2t+1)(t-4) = 0$ より、$t = -\frac{1}{2}, 4$

$2^x = -\frac{1}{2}, 4$ となりますが、$2^x > 0$ より、$2^x = 4 = 2^2$

よって、$x=2$

(4) $3^x = t$ とおくと、$\frac{2}{t^2} - \frac{3}{t} - 9 = 0$ となります。

両辺に $t^2$ をかけると、$2 - 3t - 9t^2 = 0$ より、$9t^2 + 3t - 2 = 0$ となります。

これを解くと、$(3t+2)(3t-1) = 0$ より、$t = -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$

$3^x = -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$ となりますが、$3^x > 0$ より、$3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1}$

よって、$x=-1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, 2$

(2) $x = -1$

(3) $x = 2$

(4) $x = -1$