与えられた数学の問題は以下の4つの小問から構成されています。 (1) $(x-2)^5$ の展開式における $x^2$ の係数を求める。 (2) 多項式 $x^3 + 4x^2 - 3x + 1$ を多項式 $A$ で割ると、商が $x+3$、余りが $-8x-5$ であるとき、$A$ を選択肢から選ぶ。 (3) $a>0$, $b>0$ とするとき、$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a})$ を展開し、相加平均・相乗平均の大小関係を用いて、最小値を求める。 (4) $\frac{1+2i}{4+3i}$ を分母が実数となるように変形する。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は以下の4つの小問から構成されています。

(1) $(x-2)^5$ の展開式における $x^2$ の係数を求める。

(2) 多項式 $x^3 + 4x^2 - 3x + 1$ を多項式 $A$ で割ると、商が $x+3$、余りが $-8x-5$ であるとき、$A$ を選択肢から選ぶ。

(3) $a>0$, $b>0$ とするとき、$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a})$ を展開し、相加平均・相乗平均の大小関係を用いて、最小値を求める。

(4) $\frac{1+2i}{4+3i}$ を分母が実数となるように変形する。

2. 解き方の手順

(1) $(x-2)^5$ を二項定理を用いて展開すると、

$(x-2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^k (-2)^{5-k}$

$x^2$ の係数は $k=2$ のときなので、$\binom{5}{2} x^2 (-2)^{5-2} = \binom{5}{2} x^2 (-2)^3 = 10 \cdot (-8) x^2 = -80 x^2$

よって、$x^2$ の係数は $-80$。

(2) 割り算の原理より、

$x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = A(x+3) + (-8x - 5)$

$A(x+3) = x^3 + 4x^2 - 3x + 1 + 8x + 5 = x^3 + 4x^2 + 5x + 6$

$A = \frac{x^3 + 4x^2 + 5x + 6}{x+3}$

筆算または組み立て除法を行うと、$A = x^2 + x + 2$

(3) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) = ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab} = ab + \frac{4}{ab} + 5$

相加平均・相乗平均の大小関係より、$ab + \frac{4}{ab} \geq 2\sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab}} = 2\sqrt{4} = 4$

等号成立は、$ab = \frac{4}{ab}$ のとき、つまり $ab^2 = 4$ のとき、$ab = 2$

したがって、$ab + \frac{4}{ab} + 5 \geq 4 + 5 = 9$

最小値は $9$ であり、$ab = 2$ のとき。

(4) $\frac{1+2i}{4+3i} = \frac{(1+2i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{4 - 3i + 8i - 6i^2}{16 - 9i^2} = \frac{4 + 6 + 5i}{16+9} = \frac{10+5i}{25} = \frac{2+i}{5}$

3. 最終的な答え

(1) アイ: -80

(2) ウ: 0 ($x^2+x+2$)

(3) エ: 4, オ: 5, カ: 2, キ: 9

(4) ク: 2, ケ: 5