2次関数 $y = x^2 - 6x + 11$ のグラフと $x$ 軸との共有点がないことを確認する。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 6x + 11$ のグラフと $x$ 軸との共有点がないことを確認する。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 - 6x + 11$ のグラフと $x$ 軸との共有点の有無は、この2次関数の判別式を調べることで確認できます。

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + 11$

$y = (x^2 - 6x + 9) + 11 - 9$

$y = (x - 3)^2 + 2$

この平方完成された形から、頂点の座標は $(3, 2)$ であることがわかります。

これはグラフが下に凸で、頂点の $y$ 座標が正であることを示しています。

次に、判別式 $D$ を計算します。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ です。

与えられた関数 $y = x^2 - 6x + 11$ で $y = 0$ とおいたとき、

$x^2 - 6x + 11 = 0$ という2次方程式が得られます。

この方程式の判別式は $a=1$, $b=-6$, $c=11$ なので、

$D = (-6)^2 - 4(1)(11) = 36 - 44 = -8$

判別式 $D$ が負の値であることは、2次方程式 $x^2 - 6x + 11 = 0$ が実数解を持たないことを意味します。

したがって、2次関数 $y = x^2 - 6x + 11$ のグラフは $x$ 軸と共有点を持ちません。

3. 最終的な答え

判別式 $D = -8 < 0$ であるため、2次関数 $y = x^2 - 6x + 11$ のグラフは $x$ 軸と共有点を持たない。