$a$ は正の定数とします。関数 $y = x^2 - 4ax + 1$ ($0 \le x \le 6$) について、以下の問いに答えます。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とします。関数 $y = x^2 - 4ax + 1$ ($0 \le x \le 6$) について、以下の問いに答えます。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4ax + 1 = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 1$

(1) 最小値を求める場合：

軸 $x = 2a$ の位置によって場合分けをします。

(i) $2a < 0$ のとき（ただし $a > 0$ という条件からこれは起こりえません）

(ii) $0 \le 2a \le 6$ のとき、つまり $0 \le a \le 3$ のとき。

この場合、頂点が定義域に含まれるので、最小値は $x = 2a$ のときの $y$ の値、つまり $-4a^2 + 1$ です。

(iii) $2a > 6$ のとき、つまり $a > 3$ のとき。

この場合、頂点は定義域の右側にあります。したがって、最小値は $x = 6$ のときの $y$ の値、つまり $6^2 - 4a(6) + 1 = 37 - 24a$ です。

(2) 最大値を求める場合：

軸から最も遠い $x$ の値で最大値を取ります。

(i) $0 \le a \le 3$ のとき

$x=0$と$x=6$の距離を比較します。

$|2a-0|=2a$, $|2a-6|=6-2a$となります。

$2a=6-2a$つまり、$a=3/2$の時を境に最大値をとるxが変わります。

$0 \le a \le 3/2$の時、最大値は$x=6$の時、$y=37-24a$

$3/2 < a \le 3$の時、最大値は$x=0$の時、$y=1$

(ii) $a>3$のとき

最大値は$x=0$のとき、$y=1$

まとめると

(1)最小値

$0 \le a \le 3$の時、 $-4a^2 + 1$

$a > 3$の時、$37 - 24a$

(2)最大値

$0 \le a \le 3/2$の時、$37-24a$

$3/2 < a \le 3$の時、$1$

$a>3$の時、$1$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$0 \le a \le 3$ のとき、$-4a^2 + 1$

$a > 3$ のとき、$37 - 24a$

(2) 最大値

$0 \le a \le \frac{3}{2}$ のとき、$37 - 24a$

$a > \frac{3}{2}$ のとき、$1$