$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、以下の問題を解く。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、以下の問題を解く。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ を平方完成します。

$y = (x - 2)^2 - 3$

よって、この関数の軸は $x = 2$ であり、頂点の座標は $(2, -3)$ です。

(1) 最小値を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ を考慮して、最小値を考えます。

* $a \le 2$ のとき: 軸 $x = 2$ が定義域に含まれないため、$x = a$ で最小値をとる。最小値は $y = a^2 - 4a + 1$。

* $a > 2$ のとき: 軸 $x = 2$ が定義域に含まれるため、$x = 2$ で最小値をとる。最小値は $y = -3$。

(2) 最大値を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ を考慮して、最大値を考えます。

軸 $x = 2$ から最も遠い $x$ の値で最大値を取ります。

* $0 \le a \le 4$のとき：$x=0$で最大値をとります。$y=0^2-4\cdot 0+1=1$

* $a > 4$のとき:　$x=a$で最大値をとります。$y=a^2-4a+1$

3. 最終的な答え

(1) 最小値:

* $a \le 2$ のとき: $a^2 - 4a + 1$

* $a > 2$ のとき: $-3$

(2) 最大値:

* $0 \le a \le 4$のとき：1

* $a > 4$ のとき:　$a^2-4a+1$