2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられている。$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とする。ただし、$a$ は正の定数である。 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) $y=g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a=3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。 (3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられている。$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とする。ただし、$a$ は正の定数である。

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) $y=g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a=3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

(3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4 = (x - 2)^2 + 3$

よって、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(2, 3)$ である。

(2) $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動すると、$y=g(x)$ のグラフとなるので、$g(x) = f(x - (a - 2)) - 5$ である。

$g(x) = ((x - (a - 2)) - 2)^2 + 3 - 5 = (x - a + 2 - 2)^2 - 2 = (x - a)^2 - 2$

よって、$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(a, -2)$ である。

$a = 3$ のとき、$g(x) = (x - 3)^2 - 2$ である。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

頂点は $(3, -2)$ であり、軸は $x = 3$ である。

$g(0) = (0 - 3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

$g(4) = (4 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

よって、最大値は $g(0) = 7$ であり、最小値は $g(3) = -2$ である。

(3) $g(x) = (x - a)^2 - 2$ である。$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求める。

頂点は $(a, -2)$ であり、軸は $x = a$ である。

(i) $a < 2$ のとき、$m = g(a) = -2$、$M = g(4) = (4 - a)^2 - 2$

$(4 - a)^2 - 2 - 2(-2) = 9$

$(4 - a)^2 + 2 = 9$

$(4 - a)^2 = 7$

$4 - a = \pm \sqrt{7}$

$a = 4 \pm \sqrt{7}$

$a < 2$ より、$a = 4 - \sqrt{7}$。$4 - \sqrt{7} \approx 4 - 2.64 = 1.36 < 2$ なので、$a = 4 - \sqrt{7}$ は条件を満たす。

(ii) $2 \le a \le 4$ のとき、$m = -2$、$M = g(0) = a^2 - 2$

$a^2 - 2 - 2(-2) = 9$

$a^2 + 2 = 9$

$a^2 = 7$

$a = \pm \sqrt{7}$

$2 \le a \le 4$ より、$a = \sqrt{7} \approx 2.646$。これは条件を満たす。

(iii) $a > 4$ のとき、$m = g(a) = -2$、$M = g(0) = (0 - a)^2 - 2 = a^2 - 2$

$a^2 - 2 - 2(-2) = 9$

$a^2 + 2 = 9$

$a^2 = 7$

$a = \pm \sqrt{7}$

$a > 4$ を満たすものはない。

(i)と(ii)より、$a = \sqrt{7}$と$a = 4 - \sqrt{7}$である。

3. 最終的な答え

(1) $(2, 3)$

(2) $(a, -2)$、最大値は $7$、最小値は $-2$

(3) $a = \sqrt{7}, 4 - \sqrt{7}$