数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = s$ および漸化式 $(n+2)a_{n+1} = na_n + 2$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定められている。 (1) $a_n$ を $n$ と $s$ を用いて表す。 (2) ある正の整数 $m$ に対して $\sum_{n=1}^m a_n = 0$ が成り立つとき、$s$ を $m$ を用いて表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = s$ および漸化式 $(n+2)a_{n+1} = na_n + 2$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定められている。

(1) $a_n$ を $n$ と $s$ を用いて表す。

(2) ある正の整数 $m$ に対して $\sum_{n=1}^m a_n = 0$ が成り立つとき、$s$ を $m$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式 $(n+2)a_{n+1} = na_n + 2$ を変形する。両辺を $n(n+1)(n+2)$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \frac{a_n}{n(n+1)} + \frac{2}{n(n+1)(n+2)}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + \frac{2}{n(n+1)(n+2)}$

さらに、$c_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ について部分分数分解を考える。

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}$

$1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)$

$n=0$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

$n=-1$ のとき、$1 = -B$ より $B = -1$。

$n=-2$ のとき、$1 = 2C$ より $C = \frac{1}{2}$。

よって、

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} = \frac{(n+1)(n+2) - 2n(n+2) + n(n+1)}{2n(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+3n+2 - 2n^2-4n + n^2+n}{2n(n+1)(n+2)} = \frac{2}{2n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$.

ここで部分分数分解

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$

を用いる。

すると、$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

$b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

したがって、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = b_1 + \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{n(n+1)}$

$b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{s}{2}$ であるから、

$b_n = \frac{s}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} = \frac{s+1}{2} - \frac{1}{n(n+1)}$

$a_n = n(n+1)b_n = n(n+1)\left(\frac{s+1}{2} - \frac{1}{n(n+1)}\right)$

$a_n = \frac{n(n+1)(s+1)}{2} - 1$

(2) $\sum_{n=1}^m a_n = 0$ より、

$\sum_{n=1}^m \left(\frac{n(n+1)(s+1)}{2} - 1\right) = 0$

$\frac{s+1}{2} \sum_{n=1}^m n(n+1) - \sum_{n=1}^m 1 = 0$

$\frac{s+1}{2} \sum_{n=1}^m (n^2+n) - m = 0$

$\frac{s+1}{2} \left(\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + \frac{m(m+1)}{2}\right) - m = 0$

$\frac{s+1}{2} \left(\frac{m(m+1)(2m+1) + 3m(m+1)}{6}\right) = m$

$\frac{s+1}{2} \frac{m(m+1)(2m+4)}{6} = m$

$\frac{s+1}{2} \frac{m(m+1)2(m+2)}{6} = m$

$\frac{s+1}{6} m(m+1)(m+2) = m$

$m > 0$ より、

$\frac{s+1}{6}(m+1)(m+2) = 1$

$s+1 = \frac{6}{(m+1)(m+2)}$

$s = \frac{6}{(m+1)(m+2)} - 1 = \frac{6-(m+1)(m+2)}{(m+1)(m+2)} = \frac{6-(m^2+3m+2)}{(m+1)(m+2)} = \frac{4-m^2-3m}{(m+1)(m+2)} = \frac{-(m^2+3m-4)}{(m+1)(m+2)} = \frac{-(m+4)(m-1)}{(m+1)(m+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n(n+1)(s+1)}{2} - 1$

(2) $s = \frac{-(m+4)(m-1)}{(m+1)(m+2)}$