$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = x^2 - 2x - 1$ （$0 \leq x \leq a$）について、次の問いに答える。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = x^2 - 2x - 1$ （$0 \leq x \leq a$）について、次の問いに答える。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点を求める。

$y = x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$

したがって、頂点は $(1, -2)$ である。

(1) 最小値を求める。

定義域 $0 \leq x \leq a$ における最小値を考える。

頂点のx座標 $x=1$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けする。

(i) $0 < a \leq 1$ のとき、最小値は $x = a$ のときにとる。

$y = a^2 - 2a - 1$

(ii) $a > 1$ のとき、最小値は $x = 1$ のときにとる。

$y = -2$

(2) 最大値を求める。

定義域 $0 \leq x \leq a$ における最大値を考える。

軸 $x = 1$ から遠い方の端点で最大値をとる。$x = 0$ のとき $y = -1$ である。

(i) $0 < a < 2$ のとき、最大値は $x = 0$ または $x = a$ のときにとる。$x=0$のとき$y=-1$である。

$x=a$のとき $y=a^2-2a-1$ なので、$a^2-2a-1 > -1$を解くと、$a^2-2a > 0$より$a(a-2)>0$なので、$a>2$または$a<0$となる。$0<a<2$の範囲では常に$x=0$で最大値を取るとは限らない。

$x=0$のときの$y$の値$-1$と$x=a$のときの$y$の値$a^2-2a-1$の中央の値は$\frac{a^2-2a-2}{2}$である。軸$x=1$を考えると、$0$と$a$の中央の値が$1$のとき、$a=2$となる。

$0 < a \leq 2$のとき、最大値は$x=0$でとり、$-1$である。

(ii) $a > 2$ のとき、最大値は $x = a$ のときにとる。

$y = a^2 - 2a - 1$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$0 < a \leq 1$ のとき、$a^2 - 2a - 1$

$a > 1$ のとき、$-2$

(2) 最大値

$0 < a \leq 2$ のとき、$-1$

$a > 2$ のとき、$a^2 - 2a - 1$