命題「$x \geq 2$ ならば $2|x-1| - x \geq 0$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢から選び、さらにそれらの真偽を判定する。

1. 問題の内容

命題「$x \geq 2$ ならば $2|x-1| - x \geq 0$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢から選び、さらにそれらの真偽を判定する。

2. 解き方の手順

与えられた命題を $p \rightarrow q$ とする。ここで、$p$ は「$x \geq 2$」、 $q$ は「$2|x-1| - x \geq 0$」である。

* 逆：$q \rightarrow p$。つまり、「$2|x-1| - x \geq 0$ ならば $x \geq 2$」。選択肢より、これは③である。よって、1の答えは③。

* 裏：$\neg p \rightarrow \neg q$。つまり、「$x < 2$ ならば $2|x-1| - x < 0$」。選択肢より、これは②である。よって、3の答えは②。

* 対偶：$\neg q \rightarrow \neg p$。つまり、「$2|x-1| - x < 0$ ならば $x < 2$」。選択肢より、これは④である。よって、5の答えは④。

次に、それぞれの真偽を判定する。

* 逆 ($2|x-1| - x \geq 0$ ならば $x \geq 2$)：$x=1$ のとき、$2|1-1|-1 = -1 \geq 0$ は偽なので、この命題は偽。よって、2の答えは②。

* 裏 ($x < 2$ ならば $2|x-1| - x < 0$)：$x=0$ のとき、$2|0-1|-0 = 2 < 0$ は偽なので、この命題は偽。よって、4の答えは②。

* 対偶 ($2|x-1| - x < 0$ ならば $x < 2$)：元の命題が真であれば対偶も真、元の命題が偽であれば対偶も偽となる。$x \geq 2$ のとき、$x-1 \geq 1 > 0$ より $|x-1| = x-1$ である。$2|x-1| - x = 2(x-1) - x = 2x - 2 - x = x - 2$ となる。よって、$x \geq 2$ ならば $x - 2 \geq 0$。したがって、元の命題は真。よって、対偶も真。よって、6の答えは①。

3. 最終的な答え

1: ③

2: ②

3: ②

4: ②

5: ④

6: ①