整式で表される関数 $f(x)$ が、$f(x) + xf'(x) = x(x-2)(x-3)$ を満たすとき、$f(x)$ の次数、2次の項の係数 $a$、1次の項の係数 $b$ を求める。

1. 問題の内容

整式で表される関数 $f(x)$ が、$f(x) + xf'(x) = x(x-2)(x-3)$ を満たすとき、$f(x)$ の次数、2次の項の係数 $a$、1次の項の係数 $b$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を展開します。

$f(x) + xf'(x) = x(x-2)(x-3) = x(x^2 - 5x + 6) = x^3 - 5x^2 + 6x$

$f(x)$ を $n$ 次の多項式と仮定します。

$f(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0$ (ここで $c_n \neq 0$)

すると、$f'(x) = n c_n x^{n-1} + (n-1) c_{n-1} x^{n-2} + \dots + c_1$ となります。

$xf'(x) = n c_n x^n + (n-1) c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x$

$f(x) + xf'(x) = (n+1) c_n x^n + n c_{n-1} x^{n-1} + \dots + 2c_1 x + c_0$

この式が $x^3 - 5x^2 + 6x$ と等しくなるためには、$n = 3$ である必要があります。

したがって、$f(x)$ は3次関数ではありません。

$n = 3$ のとき、

$4 c_3 x^3 + 3 c_2 x^2 + 2 c_1 x + c_0 = x^3 - 5x^2 + 6x$

各項の係数を比較すると、

$4 c_3 = 1 \implies c_3 = \frac{1}{4}$

$3 c_2 = -5 \implies c_2 = -\frac{5}{3}$

$2 c_1 = 6 \implies c_1 = 3$

$c_0 = 0$

したがって、$f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{5}{3}x^2 + 3x$ となります。

ここで、問題文の「f(x)における2次、1次の項の係数をそれぞれa, bとすると」とあるので、f(x)は3次式ではなく、2次以下の多項式であると考える。

$f(x) = ax^2 + bx + c$ と仮定すると、$f'(x) = 2ax + b$

$f(x) + xf'(x) = ax^2 + bx + c + x(2ax + b) = ax^2 + bx + c + 2ax^2 + bx = 3ax^2 + 2bx + c$

$3ax^2 + 2bx + c = x^3 - 5x^2 + 6x$ は成立しないため、$f(x)$は3次以下の多項式である。

ここで$f(x) + x f'(x) = x(x-2)(x-3)$ であることから、右辺のxの次数は3次なので、f(x)は2次関数であると考える。

そこで，$f(x)=ax^2 + bx + c$とすると、$f'(x) = 2ax+b$となる。

これらを、$f(x) + x f'(x) = x(x-2)(x-3) = x^3-5x^2+6x$に代入すると、

$ax^2+bx+c+x(2ax+b) = x^3-5x^2+6x$

$3ax^2 + 2bx + c = x^3-5x^2+6x$

しかし、これは恒等式ではないので、これはありえない。

与えられた式を展開すると $x^3 - 5x^2 + 6x$ となる。

このとき、$f(x)$ が2次式だと仮定すると、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおくことができ、$f'(x) = 2ax + b$ となる。

すると、$f(x) + x f'(x) = ax^2 + bx + c + 2ax^2 + bx = 3ax^2 + 2bx + c = x^3 - 5x^2 + 6x$ となる。

この式が成立するためには、$x^3$の項が存在してはならないので、$f(x)$ は少なくとも3次式である。

$f(x)$ を3次式とおくと、$f(x) = cx^3 + ax^2 + bx + d$ となる。

$f'(x) = 3cx^2 + 2ax + b$

$f(x) + xf'(x) = cx^3 + ax^2 + bx + d + 3cx^3 + 2ax^2 + bx = 4cx^3 + 3ax^2 + 2bx + d = x^3 - 5x^2 + 6x$

係数比較して、$4c = 1, 3a = -5, 2b = 6, d = 0$

よって、$c = 1/4, a = -5/3, b = 3, d = 0$

したがって、$f(x) = \frac{1}{4} x^3 - \frac{5}{3} x^2 + 3x$ となる。

このとき、2次の項の係数 $a = -\frac{5}{3}$、1次の項の係数 $b = 3$

3. 最終的な答え

f(x)は3次関数である。

$a = -\frac{5}{3}$, $b = 3$