2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられています。$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とします。ここで、$a$ は正の定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めよ。 (2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。また、$a=3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めよ。 (3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられています。$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とします。ここで、$a$ は正の定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めよ。

(2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表せ。また、$a=3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

(3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

したがって、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(2, 3)$ です。

(2) $g(x)$ は $f(x)$ を $x$ 軸方向に $a-2$、$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したものであるから、

$g(x) = (x - (a-2))^2 + 3 - 5 = (x - (a-2))^2 - 2$

したがって、$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(a-2, -2)$ です。

$a = 3$ のとき、$g(x) = (x - 1)^2 - 2$ です。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x=1$ なので、$x=1$ のとき最小値 $g(1) = -2$ をとります。

$x=0$ のとき $g(0) = (0-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$x=4$ のとき $g(4) = (4-1)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

したがって、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値は $7$、最小値は $-2$ です。

(3) $g(x) = (x - (a-2))^2 - 2$

頂点の $x$ 座標は $x = a-2$ です。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

場合分けをします。

(i) $a-2 \le 0$ のとき、つまり $a \le 2$ のとき、$g(x)$ は $0 \le x \le 4$ で単調増加。

$m = g(0) = (0 - (a-2))^2 - 2 = (2-a)^2 - 2 = a^2 - 4a + 4 - 2 = a^2 - 4a + 2$

$M = g(4) = (4 - (a-2))^2 - 2 = (6-a)^2 - 2 = a^2 - 12a + 36 - 2 = a^2 - 12a + 34$

$M - 2m = (a^2 - 12a + 34) - 2(a^2 - 4a + 2) = a^2 - 12a + 34 - 2a^2 + 8a - 4 = -a^2 - 4a + 30 = 9$

$a^2 + 4a - 21 = 0$

$(a+7)(a-3) = 0$

$a = -7, 3$

$a \le 2$ より、解なし。

(ii) $0 < a-2 < 4$ のとき、つまり $2 < a < 6$ のとき、$x=a-2$ で最小値をとる。

$m = g(a-2) = -2$

$M = \max(g(0), g(4)) = \max((2-a)^2 - 2, (6-a)^2 - 2)$

$M - 2m = M - 2(-2) = M + 4 = 9$

$M = 5$

$(2-a)^2 - 2 = 5$ または $(6-a)^2 - 2 = 5$

$(2-a)^2 = 7$ または $(6-a)^2 = 7$

$2-a = \pm \sqrt{7}$ または $6-a = \pm \sqrt{7}$

$a = 2 \pm \sqrt{7}$ または $a = 6 \pm \sqrt{7}$

$2 < a < 6$ より、$a = 2 + \sqrt{7} \approx 4.65$ または $a = 6 - \sqrt{7} \approx 3.35$

$a = 2 + \sqrt{7}, 6 - \sqrt{7}$ はどちらも解となる候補。

$a = 2 + \sqrt{7}$ のとき、 $a-2 = \sqrt{7} \approx 2.65 < 4$ で条件を満たす。

$M = (6 - (2 + \sqrt{7}))^2 - 2 = (4 - \sqrt{7})^2 - 2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 - 2 = 21 - 8\sqrt{7} < 5$ なので、$a = 2+\sqrt{7}$ は不適。

$a = 6 - \sqrt{7}$ のとき、$a - 2 = 4 - \sqrt{7} \approx 1.35 > 0$ で条件を満たす。

$M = (2 - (6 - \sqrt{7}))^2 - 2 = (-4 + \sqrt{7})^2 - 2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 - 2 = 21 - 8\sqrt{7} < 5$ なので、こちらも不適。

この場合分けでは解なし。

$g(0) = g(4)$ の場合は

$(2-a)^2-2 = (6-a)^2-2$

$(2-a)^2 = (6-a)^2$

$2-a = \pm (6-a)$

$2-a = 6-a$ または $2-a = a-6$

$2=6$ または $2a=8$

解なし。

(iii) $a-2 \ge 4$ のとき、つまり $a \ge 6$ のとき、$g(x)$ は $0 \le x \le 4$ で単調減少。

$m = g(4) = (4 - (a-2))^2 - 2 = (6-a)^2 - 2 = a^2 - 12a + 36 - 2 = a^2 - 12a + 34$

$M = g(0) = (0 - (a-2))^2 - 2 = (2-a)^2 - 2 = a^2 - 4a + 4 - 2 = a^2 - 4a + 2$

$M - 2m = (a^2 - 4a + 2) - 2(a^2 - 12a + 34) = a^2 - 4a + 2 - 2a^2 + 24a - 68 = -a^2 + 20a - 66 = 9$

$a^2 - 20a + 75 = 0$

$(a - 5)(a - 15) = 0$

$a = 5, 15$

$a \ge 6$ より、$a = 15$

3. 最終的な答え

(1) $(2, 3)$

(2) $(a-2, -2)$、最大値 $7$、最小値 $-2$

(3) $a = 15$