$a$ を正の数とするとき、2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p - q = 1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ をもつとき、$a$ と $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の数とするとき、2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p - q = 1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ をもつとき、$a$ と $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係より、

$p + q = a$

$pq = 1$

という関係式が成り立つ。

また、$p - q = 1$ という条件が与えられている。

$p + q = a$ と $p - q = 1$ の2式から、$q$ を消去して $p$ を求める。

$p + q = a$ より、 $q = a - p$

これを $p - q = 1$ に代入すると、

$p - (a - p) = 1$

$2p - a = 1$

$2p = a + 1$

$p = \frac{a+1}{2}$

次に、$pq = 1$ に、$p = \frac{a+1}{2}$ と $q = a - p = a - \frac{a+1}{2} = \frac{2a - a - 1}{2} = \frac{a-1}{2}$ を代入する。

$(\frac{a+1}{2}) (\frac{a-1}{2}) = 1$

$\frac{a^2 - 1}{4} = 1$

$a^2 - 1 = 4$

$a^2 = 5$

$a = \pm \sqrt{5}$

$a$ は正の数であるから、$a = \sqrt{5}$

$p = \frac{a+1}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{5}$

$p = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$