以下の3つの漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 3$ (3) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = -2a_n + 1$

1. 問題の内容

以下の3つの漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 4$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 3$

(3) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = -2a_n + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n - 2$

特性方程式 $x = 3x - 2$ を解くと、$2x = 2$ より $x = 1$。

したがって、漸化式は $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ と変形できる。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$。

数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - 1 = 4 - 1 = 3$、公比 3 の等比数列であるから、$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$。

よって、$a_n = b_n + 1 = 3^n + 1$。

(2) $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 3$

特性方程式 $x = \frac{1}{2}x - 3$ を解くと、$\frac{1}{2}x = -3$ より $x = -6$。

したがって、漸化式は $a_{n+1} + 6 = \frac{1}{2}(a_n + 6)$ と変形できる。

$b_n = a_n + 6$ とおくと、$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$。

数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 + 6 = 1 + 6 = 7$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であるから、$b_n = 7 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$。

よって、$a_n = b_n - 6 = 7 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 6$。

(3) $a_{n+1} = -2a_n + 1$

特性方程式 $x = -2x + 1$ を解くと、$3x = 1$ より $x = \frac{1}{3}$。

したがって、漸化式は $a_{n+1} - \frac{1}{3} = -2(a_n - \frac{1}{3})$ と変形できる。

$b_n = a_n - \frac{1}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = -2b_n$。

数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$、公比 -2 の等比数列であるから、$b_n = \frac{5}{3} \cdot (-2)^{n-1}$。

よって、$a_n = b_n + \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^n + 1$

(2) $a_n = 7 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 6$

(3) $a_n = \frac{5}{3} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{1}{3}$