階差数列を利用して、数列 $\{a_n\} = \{1, 5, 13, 25, 41, \dots \}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

階差数列を利用して、数列 $\{a_n\} = \{1, 5, 13, 25, 41, \dots \}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求める。

階差数列 $\{b_n\}$ は、元の数列の隣り合う項の差で定義される。

$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$

$b_2 = a_3 - a_2 = 13 - 5 = 8$

$b_3 = a_4 - a_3 = 25 - 13 = 12$

$b_4 = a_5 - a_4 = 41 - 25 = 16$

したがって、階差数列 $\{b_n\}$ は $\{4, 8, 12, 16, \dots\}$ となり、これは初項が4、公差が4の等差数列である。

階差数列の一般項 $b_n$ は、

$b_n = 4 + (n-1)4 = 4n$

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ ($n \ge 2$)

ここで $a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4k = 1 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、

$a_n = 1 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + 2(n^2 - n) = 2n^2 - 2n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 - 2 + 1 = 1$

これは与えられた数列の初項と一致するので、$a_n = 2n^2 - 2n + 1$ は $n \ge 1$ で成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n^2 - 2n + 1$