与えられた問題は以下の2つの部分から構成されます。 (4) $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求めます。 (5) $x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ , $y = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x + y$, $xy$, $x^4 - y^4$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の2つの部分から構成されます。

(4) $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求めます。

(5) $x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ , $y = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x + y$, $xy$, $x^4 - y^4$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(4)

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ の両辺を2乗すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{6})^2$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 6$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$ の両辺を2乗すると、

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 4^2$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 16$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$

(5)

$x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ , $y = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ のとき、

$x + y = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$xy = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = \frac{4 - 2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x^2 = (\frac{2 + \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{4} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$

$y^2 = (\frac{2 - \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{4} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$

$x^4 = (\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{9 + 12\sqrt{2} + 8}{4} = \frac{17 + 12\sqrt{2}}{4}$

$y^4 = (\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{9 - 12\sqrt{2} + 8}{4} = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{4}$

$x^4 - y^4 = \frac{17 + 12\sqrt{2}}{4} - \frac{17 - 12\sqrt{2}}{4} = \frac{24\sqrt{2}}{4} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(4) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$ , $x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$

(5) $x + y = 2$, $xy = \frac{1}{2}$, $x^4 - y^4 = 6\sqrt{2}$