自然数全体の集合を $U$ とし、集合 $A, B$ を $A = \{ n \mid n \text{は3で割り切れない自然数} \}$、 $B = \{ n \mid n \text{は18で割り切れない自然数} \}$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) 自然数 $n$ が $A$ に属することは、$n$ が 9 で割り切れないための何であるか。 (2) 自然数 $n$ が $B$ に属することは、$n$ が 6 で割り切れないための何であるか。 選択肢は以下の通り。 ① 必要十分条件である ② 必要条件であるが、十分条件ではない ③ 十分条件であるが、必要条件ではない ④ 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

自然数全体の集合を $U$ とし、集合 $A, B$ を $A = \{ n \mid n \text{は3で割り切れない自然数} \}$、 $B = \{ n \mid n \text{は18で割り切れない自然数} \}$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 自然数 $n$ が $A$ に属することは、$n$ が 9 で割り切れないための何であるか。

(2) 自然数 $n$ が $B$ に属することは、$n$ が 6 で割り切れないための何であるか。

選択肢は以下の通り。

① 必要十分条件である

② 必要条件であるが、十分条件ではない

③ 十分条件であるが、必要条件ではない

④ 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1)

$n \in A$ は、$n$ が 3 で割り切れないことと同値である。

$n$ が 9 で割り切れないことは、$n$ が $3^2$ で割り切れないことと同値である。

$n$ が 3 で割り切れない $\Rightarrow$ $n$ が 9 で割り切れない

これは真である。なぜなら、$n$ が 3 で割り切れないならば、$n$ は 9 で割り切れないからである。

$n$ が 9 で割り切れない $\Rightarrow$ $n$ が 3 で割り切れない

これは偽である。例えば、$n=6$ は 9 で割り切れないが、3 で割り切れる。

したがって、$n \in A$ であることは、$n$ が 9 で割り切れないための十分条件であるが、必要条件ではない。答えは③である。

(2)

$n \in B$ は、$n$ が 18 で割り切れないことと同値である。

$n$ が 6 で割り切れないことは、$n$ が $2 \times 3$ で割り切れないことと同値である。

$n$ が 18 で割り切れない $\Rightarrow$ $n$ が 6 で割り切れない

これは真である。なぜなら、$n$ が 18 (つまり $2 \times 3^2$) で割り切れないならば、$n$ は 6 (つまり $2 \times 3$) で割り切れないからである。

$n$ が 6 で割り切れない $\Rightarrow$ $n$ が 18 で割り切れない

これは偽である。例えば、$n=12$ は 6 で割り切れるが、18 では割り切れない。従って、 $n=5$ は 6 で割り切れないが、$n=5$ は 18 でも割り切れない。しかし、$n=6$ は 6 で割り切れるが 18では割り切れない。$n=12$は 6 で割り切れるが、18では割り切れない。

$n$ が 18 で割り切れないことは、$n$ が 6 で割り切れないための必要条件であるが、十分条件ではない。答えは②である。

3. 最終的な答え

(1) ③

(2) ②