次の3つの式を因数分解する問題です。 (1) $6x^2 + xy - y^2$ (2) $x^2 + 2ax - 8a - 16$ (3) $x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$

1. 問題の内容

次の3つの式を因数分解する問題です。

(1) $6x^2 + xy - y^2$

(2) $x^2 + 2ax - 8a - 16$

(3) $x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$

2. 解き方の手順

(1)

$6x^2 + xy - y^2$ を因数分解します。これは $x$ についての二次式なので、たすき掛けを利用します。

$6x^2$ の係数 6 を $2 \times 3$ と $1 \times 6$ に分解し、$y^2$ の係数 -1 を $1 \times -1$ と $-1 \times 1$ に分解して、たすき掛けで $xy$ の係数 1 になる組み合わせを探します。

$2x$ と $3x$ の組み合わせ、$y$ と $-y$ の組み合わせを試すと、

$(2x + y)(3x - y) = 6x^2 -2xy + 3xy - y^2 = 6x^2 + xy - y^2$

となるので、これが正解です。

(2)

$x^2 + 2ax - 8a - 16$ を因数分解します。まず $x$ について整理すると、

$x^2 + 2ax - (8a + 16)$

となります。ここで、定数項の $8a + 16 = 8(a + 2)$ であることに注意します。

$x$ についての二次式として考えると、和が $2a$、積が $-8(a + 2)$ となる2数を見つければよいです。

$2a = (a + 4) + (a - 4)$

$-8(a + 2) = (a + 4)(4-a-8)= (a+4)(-a-4)$

なので、和が2a, 積が-8a-16になるわけではない。

次に、$x^2 + 2ax - 8a - 16$ を $x^2 + 2ax + a^2 - a^2 - 8a - 16$ と変形すると、

$(x+a)^2 - (a^2 + 8a + 16) = (x+a)^2 - (a+4)^2$

となります。これは差の二乗の形なので、

$(x+a)^2 - (a+4)^2 = (x+a + (a+4))(x+a - (a+4)) = (x+2a+4)(x-4)$

と因数分解できます。

(3)

$x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$ を因数分解します。

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$ であることに注目すると、

$(x-y)^2 - (x-y) - 2$

となります。ここで、$X = x-y$ とおくと、

$X^2 - X - 2 = (X-2)(X+1)$

となります。$X = x-y$ を代入すると、

$(x-y-2)(x-y+1)$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y)(3x - y)$

(2) $(x + 2a + 4)(x - 4)$

(3) $(x - y - 2)(x - y + 1)$