$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5)$ を計算し、その答えを求める。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5)$ を計算し、その答えを求める。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を用いて、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 5$

次に、公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を用いて、それぞれのシグマを計算します。

また、$\sum_{k=1}^{n} 5 = 5n$ であることに注意します。

与えられた式に公式を適用すると、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 5 = 5n$

これらの結果を元の式に代入します。

$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 6 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + 5n$

$= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 5n$

$= \frac{1}{6}n[(n+1)(2n+1) - 18(n+1) + 30]$

$= \frac{1}{6}n[2n^2 + 3n + 1 - 18n - 18 + 30]$

$= \frac{1}{6}n[2n^2 - 15n + 13]$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}n(2n^2 - 15n + 13)$