2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ の $-2 \le x < 2$ における値域を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 3$ の $-2 \le x < 2$ における値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2x + 3$

$y = (x^2 - 2x + 1) + 3 - 1$

$y = (x - 1)^2 + 2$

この関数は下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(1, 2)$ である。

定義域が $-2 \le x < 2$ であるから、この範囲で関数の最大値と最小値を考える。

軸 $x = 1$ は定義域内にあるので、$x = 1$ のときに最小値 $y = 2$ をとる。

次に、定義域の端点での値を調べる。

$x = -2$ のとき、$y = (-2 - 1)^2 + 2 = (-3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11$

$x = 2$ のとき、$y = (2 - 1)^2 + 2 = (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$x < 2$ なので、$x=2$のときの$y$の値は含まれないことに注意する。

したがって、$x$が2に限りなく近づくとき、$y$は3に限りなく近づく。つまり、最大値は3にはならない。

以上より、最小値は2であり、最大値は11である。ただし、$x < 2$であることから、$y$が3になることはない。

3. 最終的な答え

$2 \le y < 11$