2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 6$ の定義域が $-2 \le x < 1$ であるとき、この関数の値域を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 6$ の定義域が $-2 \le x < 1$ であるとき、この関数の値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 - 4x + 6 = -2(x^2 + 2x) + 6 = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 6 = -2((x+1)^2 - 1) + 6 = -2(x+1)^2 + 2 + 6 = -2(x+1)^2 + 8$

したがって、$y = -2(x+1)^2 + 8$ となります。

この2次関数のグラフは上に凸な放物線で、頂点の座標は $(-1, 8)$ です。

次に、定義域 $-2 \le x < 1$ における関数の値を考えます。

$x = -2$ のとき、 $y = -2(-2+1)^2 + 8 = -2(-1)^2 + 8 = -2(1) + 8 = -2 + 8 = 6$

$x = 1$ のとき、 $y = -2(1+1)^2 + 8 = -2(2)^2 + 8 = -2(4) + 8 = -8 + 8 = 0$

頂点の $x$ 座標である $x=-1$ は定義域 $-2 \le x < 1$ に含まれており、そのときの $y$ の値は $8$ です。

$x$ が $-2$ から $-1$ に増加するにつれて、$y$ の値は $6$ から $8$ に増加します。

$x$ が $-1$ から $1$ に増加するにつれて、$y$ の値は $8$ から $0$ に減少します。

ただし、$x < 1$ であるので、$x=1$ のときの値 $y=0$ は含まれません。

したがって、$x=1$ に限りなく近いときの $y$ の値は、$0$ に限りなく近い値になります。

定義域 $-2 \le x < 1$ における $y$ の最大値は $8$ (頂点) で、最小値は $0$ に限りなく近い値です。

したがって、値域は $0 < y \le 8$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < y \le 8$