$\sqrt{n^2 + 35}$ が自然数となるような自然数 $n$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2 + 35}$ が自然数となるような自然数 $n$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2 + 35}$ が自然数であるということは、$n^2 + 35$ がある自然数の2乗になるということです。

そこで、$n^2 + 35 = m^2$ となる自然数 $m$ が存在すると考えます。この式を変形すると、

$m^2 - n^2 = 35$

$(m+n)(m-n) = 35$

$m$と$n$は自然数なので、$m+n$と$m-n$も整数です。また、$m+n > 0$なので、$m-n > 0$である必要があります。

35を2つの正の整数の積で表す方法は、

$35 = 35 \times 1 = 7 \times 5$

の2通りです。

(1) $m+n = 35$ かつ $m-n = 1$ のとき

2つの式を足し合わせると、$2m = 36$となり、$m = 18$です。

$n = 35 - m = 35 - 18 = 17$となります。

(2) $m+n = 7$ かつ $m-n = 5$ のとき

2つの式を足し合わせると、$2m = 12$となり、$m = 6$です。

$n = 7 - m = 7 - 6 = 1$となります。

したがって、$n=17$と$n=1$が求める自然数です。

3. 最終的な答え

$n = 1, 17$