A, B, C, Dを n 次正方行列とするとき、以下の二つの等式を示す。 (1) $\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A+B||A-B|$ (2) $\begin{vmatrix} AB & AD \\ CB & CD \end{vmatrix} = 0$

1. 問題の内容

A, B, C, Dを n 次正方行列とするとき、以下の二つの等式を示す。

(1)

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A+B||A-B|$

(2)

$\begin{vmatrix} AB & AD \\ CB & CD \end{vmatrix} = 0$

2. 解き方の手順

(1) の証明:

行列のブロック分割された行列式に関する公式を利用する。

まず、左辺の行列に次の操作を行う。

第 1 列から第 2 列を引く。すると、行列式は変わらず、次のようになる。

$\begin{vmatrix} A-B & B \\ B-A & A \end{vmatrix}$

次に、第 2 行に第 1 行を加える。すると、行列式は変わらず、次のようになる。

$\begin{vmatrix} A-B & B \\ 0 & A+B \end{vmatrix}$

ブロック行列式について、一般に

$\begin{vmatrix} X & Y \\ 0 & Z \end{vmatrix} = |X||Z|$

が成り立つので、

$\begin{vmatrix} A-B & B \\ 0 & A+B \end{vmatrix} = |A-B||A+B|$

よって、

$\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A-B||A+B|=|A+B||A-B|$

が示された。

(2) の証明:

$\begin{vmatrix} AB & AD \\ CB & CD \end{vmatrix}$

= $|AB||CD| - |AD||CB|$

= $|A||B||C||D| - |A||D||C||B|$

= $|A||B||C||D| - |A||B||C||D|$

= 0

となる。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = |A+B||A-B|$

(2) $\begin{vmatrix} AB & AD \\ CB & CD \end{vmatrix} = 0$