問題は2つあります。 1つ目は、次の3次式を因数分解することです。 (1) $x^3 - x^2 - 4x + 4$ (2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ 2つ目は、次の2次方程式を解くことです。 (1) $3x^2 - 5x + 1 = 0$ (2) $5x^2 - x - 2 = 0$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目は、次の3次式を因数分解することです。

(1) $x^3 - x^2 - 4x + 4$

(2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$

2つ目は、次の2次方程式を解くことです。

(1) $3x^2 - 5x + 1 = 0$

(2) $5x^2 - x - 2 = 0$

2. 解き方の手順

**

1. 因数分解**

(1) $x^3 - x^2 - 4x + 4$

この式は、共通因数を見つけることによって因数分解できます。

$x^2(x - 1) - 4(x - 1)$

$(x^2 - 4)(x - 1)$

$(x - 2)(x + 2)(x - 1)$

(2) $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$

この式は、因数定理を利用して因数分解できます。

$P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ とおくと、

$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ なので、$x - 1$ は $P(x)$ の因数です。

$P(x)$ を $x - 1$ で割ると、

$x^2 - x - 6$

したがって、$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)$

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ なので、

$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$

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2. 2次方程式を解く**

(1) $3x^2 - 5x + 1 = 0$

この2次方程式は、解の公式を使って解くことができます。

解の公式: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

(2) $5x^2 - x - 2 = 0$

この2次方程式も、解の公式を使って解くことができます。

解の公式: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(5)(-2)}}{2(5)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 40}}{10}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{10}$

3. 最終的な答え

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1. 因数分解**

(1) $(x - 2)(x + 2)(x - 1)$

(2) $(x - 1)(x - 3)(x + 2)$

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2. 2次方程式の解**

(1) $x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

(2) $x = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{10}$