実数 $x, y$ に対して、$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ であることを証明します。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して、$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。つまり、$x^2 + y^2 \le 1$ かつ $x+y > \sqrt{2}$ であると仮定して矛盾を導きます。

$x+y = a$ とおきます。ここで、$a > \sqrt{2}$ です。

$y = a - x$ なので、$x^2 + y^2 \le 1$ に代入すると、

$x^2 + (a-x)^2 \le 1$

$x^2 + a^2 - 2ax + x^2 \le 1$

$2x^2 - 2ax + a^2 - 1 \le 0$

この不等式が実数解を持つためには、判別式 $D$ が $D \ge 0$ である必要があります。

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 4a^2 - 8a^2 + 8 = -4a^2 + 8$

したがって、$-4a^2 + 8 \ge 0$ より、

$4a^2 \le 8$

$a^2 \le 2$

$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$

これは、$a > \sqrt{2}$ という仮定に矛盾します。

よって、$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ が成り立つ。