実数 $x, y$ に対して、$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ であることを証明します。

代数学不等式実数背理法判別式最大値
2025/7/9

1. 問題の内容

実数 x,yx, y に対して、x2+y21x^2 + y^2 \le 1 ならば x+y2x+y \le \sqrt{2} であることを証明します。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。つまり、x2+y21x^2 + y^2 \le 1 かつ x+y>2x+y > \sqrt{2} であると仮定して矛盾を導きます。
x+y=ax+y = a とおきます。ここで、a>2a > \sqrt{2} です。
y=axy = a - x なので、x2+y21x^2 + y^2 \le 1 に代入すると、
x2+(ax)21x^2 + (a-x)^2 \le 1
x2+a22ax+x21x^2 + a^2 - 2ax + x^2 \le 1
2x22ax+a2102x^2 - 2ax + a^2 - 1 \le 0
この不等式が実数解を持つためには、判別式 DDD0D \ge 0 である必要があります。
D=(2a)242(a21)=4a28a2+8=4a2+8D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 4a^2 - 8a^2 + 8 = -4a^2 + 8
したがって、4a2+80-4a^2 + 8 \ge 0 より、
4a284a^2 \le 8
a22a^2 \le 2
2a2-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}
これは、a>2a > \sqrt{2} という仮定に矛盾します。
よって、x2+y21x^2 + y^2 \le 1 ならば x+y2x+y \le \sqrt{2} が成り立ちます。

3. 最終的な答え

x2+y21x^2 + y^2 \le 1 ならば x+y2x+y \le \sqrt{2} が成り立つ。

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