実数 $x, y$ に対して、$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ であることを証明します。代数学不等式実数背理法判別式最大値2025/7/91. 問題の内容実数 x,yx, yx,y に対して、x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1x2+y2≤1 ならば x+y≤2x+y \le \sqrt{2}x+y≤2 であることを証明します。2. 解き方の手順背理法を用いて証明します。つまり、x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1x2+y2≤1 かつ x+y>2x+y > \sqrt{2}x+y>2 であると仮定して矛盾を導きます。x+y=ax+y = ax+y=a とおきます。ここで、a>2a > \sqrt{2}a>2 です。y=a−xy = a - xy=a−x なので、x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1x2+y2≤1 に代入すると、x2+(a−x)2≤1x^2 + (a-x)^2 \le 1x2+(a−x)2≤1x2+a2−2ax+x2≤1x^2 + a^2 - 2ax + x^2 \le 1x2+a2−2ax+x2≤12x2−2ax+a2−1≤02x^2 - 2ax + a^2 - 1 \le 02x2−2ax+a2−1≤0この不等式が実数解を持つためには、判別式 DDD が D≥0D \ge 0D≥0 である必要があります。D=(−2a)2−4⋅2⋅(a2−1)=4a2−8a2+8=−4a2+8D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 1) = 4a^2 - 8a^2 + 8 = -4a^2 + 8D=(−2a)2−4⋅2⋅(a2−1)=4a2−8a2+8=−4a2+8したがって、−4a2+8≥0-4a^2 + 8 \ge 0−4a2+8≥0 より、4a2≤84a^2 \le 84a2≤8a2≤2a^2 \le 2a2≤2−2≤a≤2-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}−2≤a≤2これは、a>2a > \sqrt{2}a>2 という仮定に矛盾します。よって、x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1x2+y2≤1 ならば x+y≤2x+y \le \sqrt{2}x+y≤2 が成り立ちます。3. 最終的な答えx2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1x2+y2≤1 ならば x+y≤2x+y \le \sqrt{2}x+y≤2 が成り立つ。