行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\det(A - tE) = 0$ となるような実数 $t$ をすべて求めます。ただし、$E$ は単位行列を表します。 (2) (1) で求めた $t$ の各値に対して、連立1次方程式 $(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求めます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\det(A - tE) = 0$ となるような実数 $t$ をすべて求めます。ただし、$E$ は単位行列を表します。

(2) (1) で求めた $t$ の各値に対して、連立1次方程式 $(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\det(A - tE) = 0$ を解く。

まず、$A - tE$ を計算します。

$A - tE = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix} - t \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-t & -4 & -2 \\ 6 & -5-t & -2 \\ 3 & -3 & 2-t \end{bmatrix}$

次に、この行列の行列式を計算します。

\begin{align*} \det(A - tE) &= (5-t)((-5-t)(2-t) - (-2)(-3)) - (-4)(6(2-t) - (-2)(3)) + (-2)(6(-3) - (3)(-5-t)) \\ &= (5-t)((-10 + 5t - 2t + t^2) - 6) - (-4)(12 - 6t + 6) + (-2)(-18 + 15 + 3t) \\ &= (5-t)(t^2 + 3t - 16) + 4(18 - 6t) - 2(-3 + 3t) \\ &= 5t^2 + 15t - 80 - t^3 - 3t^2 + 16t + 72 - 24t + 6 - 6t \\ &= -t^3 + 2t^2 + t - 2 \end{align*}

$\det(A - tE) = 0$ を解きます。

$-t^3 + 2t^2 + t - 2 = 0$

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

$(t-2)(t^2 - 1) = 0$

$(t-2)(t-1)(t+1) = 0$

よって、$t = 2, 1, -1$

(2) (1) で求めた $t$ の各値に対して、$(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求める。

(i) $t = 2$ のとき

$A - 2E = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

$(A - 2E)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$3x - 4y - 2z = 0$

$6x - 7y - 2z = 0$

$3x - 3y = 0$

$x = y$

$3x - 4x - 2z = 0$

$-x - 2z = 0$

$z = -\frac{1}{2}x$

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ x \\ -\frac{1}{2}x \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = x' \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ ($x' = \frac{1}{2}x$)

(ii) $t = 1$ のとき

$A - E = \begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix}$

$(A - E)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$4x - 4y - 2z = 0$

$6x - 6y - 2z = 0$

$3x - 3y + z = 0$

$z = -3x + 3y$

$4x - 4y - 2(-3x + 3y) = 0$

$4x - 4y + 6x - 6y = 0$

$10x - 10y = 0$

$x = y$

$z = -3x + 3x = 0$

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ x \\ 0 \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(iii) $t = -1$ のとき

$A + E = \begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

$(A + E)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を解きます。

$\begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$6x - 4y - 2z = 0$

$3x - 3y + 3z = 0$

$x - y + z = 0$

$z = y - x$

$6x - 4y - 2(y - x) = 0$

$6x - 4y - 2y + 2x = 0$

$8x - 6y = 0$

$4x = 3y$

$y = \frac{4}{3}x$

$z = \frac{4}{3}x - x = \frac{1}{3}x$

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ \frac{4}{3}x \\ \frac{1}{3}x \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix} = x' \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($x' = \frac{1}{3}x$)

3. 最終的な答え

(1) $t = 2, 1, -1$

(2)

$t = 2$ のとき、$\mathbf{x} = c_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ ($c_1$ は任意定数)

$t = 1$ のとき、$\mathbf{x} = c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ($c_2$ は任意定数)

$t = -1$ のとき、$\mathbf{x} = c_3 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c_3$ は任意定数)