2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $-2 < x \leq 1$ における値域を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $-2 < x \leq 1$ における値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1$

$y = (x^2 - 4x) + 1$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$

$y = (x - 2)^2 - 4 + 1$

$y = (x - 2)^2 - 3$

したがって、この2次関数の頂点は $(2, -3)$ です。

次に、定義域 $-2 < x \leq 1$ における関数の値を調べます。

$x = 1$ のとき、 $y = (1 - 2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

$x = -2$ のとき、 $y = (-2 - 2)^2 - 3 = (-4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$

定義域は $-2 < x \leq 1$ であるので、$x = -2$ は含まれません。したがって、$y$ は $13$ にはなりません。

この2次関数は下に凸の放物線であり、軸は $x = 2$ です。

定義域 $-2 < x \leq 1$ は軸 $x=2$ を含みません。

$x = 1$ のとき $y = -2$ です。$x = 1$ は定義域に含まれるので、$y = -2$ も値域に含まれます。

頂点の $y$ 座標は $-3$ であり、軸が定義域に含まれないので、頂点で最小値を取りません。

$x=-2$ に近づくにつれて、$y$ は $13$ に近づきますが、$x=-2$ は定義域に含まれないので、$y < 13$ となります。

したがって、値域は $-3 \leq y < 13$ ではありません。

定義域 $-2 < x \leq 1$ における最小値は、軸から最も近い $x = 1$ のときにとり、$y = -2$です。

また、$x$が$-2$に限りなく近づくとき、$y$は$13$に限りなく近づきますが、$13$にはなりません。

そこで、$-2 < x \le 1$ における $y$ の値の範囲は $-2 \le y < 13$ となります。

3. 最終的な答え

-2 ≤ y < 13