2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $-2 < x \le 1$ における値域を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の $-2 < x \le 1$ における値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$

この2次関数の軸は $x = 2$ であり、下に凸の放物線である。

定義域は $-2 < x \le 1$ である。

軸 $x=2$ は定義域に含まれない。

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

$x$ が$-2$ に近づくとき、$y$ は $( (-2) - 2)^2 - 3 = (-4)^2 - 3 = 16 - 3 = 13$ に近づく。

したがって、$x=-2$のとき$y$の値は13ではない。

定義域 $-2 < x \le 1$ において、軸 $x = 2$ から最も遠い点は $x$ が $-2$ に近いときであり、最も近い点は $x = 1$ である。

したがって、$x$ が $-2$ に近づくとき、$y$ は $13$ に近づき、 $x = 1$ のとき、$y = -2$ となる。

定義域内で関数の値は連続的に変化するため、値域は $-3$を含まない。

したがって、値域は $-3$ から $13$ に近い範囲であり、 $x=1$ のとき $-2$ であることから、$y$の最大値は-2である。

最小値は軸で、$x=2$なので、$y=-3$となる。ただし、$x=2$は定義域外であるため、この値は範囲には含まれない。

定義域 $-2 < x \le 1$ において、グラフは軸から離れるほど $y$ が大きくなるので、$x = -2$ に近づくほど $y$ は大きくなるが、$x=-2$ は定義域に含まれないので、上限は$13$より小さくなる。 $x=1$のとき、$y=-2$である。

したがって、値域は $-3$と$-2$の間に入る値を取るので、最小値は$y=-3$ではない。

$x=1$のとき$y=-2$なので、$y$の最大値は-2である。

$y=(x-2)^2 - 3$ で、$x$が$-2$に近づくとき、$y$は$((-2)-2)^2 - 3 = 16-3 = 13$ に近づく。したがって、$y$の取りうる値は$-2$以上、$13$未満になる。軸は、$y=-3$なので、最小値は-3となる。

$x=1$ を代入すると $y = 1-4+1 = -2$

$x=-2$ を代入すると $y = 4+8+1 = 13$

したがって、値域は $-2 < x \le 1$ のとき $-3 \ge y$ となることがなく、$y \le -2$ は成り立つ。

$-2 < x \le 1$ において、$y = (x-2)^2-3$ は単調減少ではないので、$-3 < y \le -2$ とはならない。

定義域は $-2 < x \leq 1$である。$x = 1$のとき、$y = (1-2)^2 - 3 = 1-3 = -2$。よって、$y \leq -2$。

$x \to -2$のとき、$y = (-2-2)^2 - 3 = 16-3 = 13$。よって、$y < 13$。

$y = (x-2)^2 - 3$より、$x=2$のとき$y = -3$となる。

しかし、$x=2$は定義域に入らないので、$y$は$-3$になりえない。

$-3 \le y$

$y$のとりうる値の範囲は、$-3$ が最小値で、$13$ が上限となる。ただし、$x=-2$が含まれていないので、$y$ は $13$ になれない。また$x = 1$のとき$y = -2$。軸は $x=2$ のとき $y = -3$。

したがって、$-3 < y \le -2$ であり、$y = -2$ を含み、$-3 < y$となる。

3. 最終的な答え

$-3 < y \le -2$