2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられ、そのグラフをx軸方向に$a-2$, y軸方向に$-5$だけ平行移動したグラフを表す2次関数を$g(x)$とする。ここで、$a$は正の定数である。 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) $y=g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a=3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。 (3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられ、そのグラフをx軸方向に$a-2$, y軸方向に$-5$だけ平行移動したグラフを表す2次関数を$g(x)$とする。ここで、$a$は正の定数である。

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) $y=g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a=3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

(3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成することで頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 3 = (x-2)^2 + 3$

よって、$y=f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(2, 3)$ である。

(2) $g(x)$ は $f(x)$ をx軸方向に$a-2$, y軸方向に$-5$だけ平行移動したものなので、

$g(x) = f(x - (a-2)) - 5 = f(x - a + 2) - 5$

$g(x) = (x-a+2-2)^2 + 3 - 5 = (x-a)^2 - 2$

よって、$y=g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(a, -2)$ である。

$a=3$ のとき、$g(x) = (x-3)^2 - 2$ である。$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

頂点のx座標は $x=3$ であり、$0 \le x \le 4$ の範囲に含まれる。

$g(3) = -2$ (最小値)

$g(0) = (0-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

$g(4) = (4-3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

よって、最大値は $7$, 最小値は $-2$ である。

(3) $g(x) = (x-a)^2 - 2$ について、$0 \le x \le 4$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を考える。

頂点のx座標は $x=a$ である。

$M - 2m = 9$

(i) $0 \le a \le 4$ のとき、最小値は $m = g(a) = -2$.

$M = max(g(0), g(4)) = max(a^2-2, (4-a)^2-2)$

$M - 2m = M - 2(-2) = M + 4 = 9$ より $M = 5$.

$a^2 - 2 = 5$ のとき $a^2 = 7$, $a = \sqrt{7}$

$(4-a)^2 - 2 = 5$ のとき $(4-a)^2 = 7$, $4-a = \pm \sqrt{7}$, $a = 4 \pm \sqrt{7}$

$0 \le a \le 4$ の範囲にあるのは $a = \sqrt{7}$, $4-\sqrt{7}$

$4-\sqrt{7} \approx 4-2.6 = 1.4$

(ii) $a < 0$ のとき、最小値は $g(0) = a^2 - 2$. 最大値は $g(4) = (4-a)^2 - 2$.

$M - 2m = (4-a)^2 - 2 - 2(a^2 - 2) = 16 - 8a + a^2 - 2 - 2a^2 + 4 = -a^2 - 8a + 18 = 9$

$-a^2 - 8a + 9 = 0$, $a^2 + 8a - 9 = 0$, $(a+9)(a-1) = 0$, $a = -9, 1$.

$a < 0$ より $a = -9$

(iii) $a > 4$ のとき、最小値は $g(4) = (4-a)^2 - 2$. 最大値は $g(0) = a^2 - 2$.

$M - 2m = a^2 - 2 - 2((4-a)^2 - 2) = a^2 - 2 - 2(16 - 8a + a^2 - 2) = a^2 - 2 - 32 + 16a - 2a^2 + 4 = -a^2 + 16a - 30 = 9$

$-a^2 + 16a - 39 = 0$, $a^2 - 16a + 39 = 0$, $(a-3)(a-13) = 0$, $a = 3, 13$.

$a > 4$ より $a = 13$

したがって、$a = \sqrt{7}, 4-\sqrt{7}, -9, 13$。ただし、$a$ は正の定数なので、$a = \sqrt{7}, 4-\sqrt{7}, 13$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, 3)$

(2) 頂点の座標: $(a, -2)$, 最大値: $7$, 最小値: $-2$ ($a=3$ のとき)

(3) $a = \sqrt{7}, 4-\sqrt{7}, 13$