実数 $a$ を定数とする。関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 - 1$ の区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値が5であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + a^2 - 1$ の区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値が5であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = a(x^2 + 4x) + a^2 - 1 = a(x^2 + 4x + 4 - 4) + a^2 - 1 = a(x+2)^2 - 4a + a^2 - 1$

次に、$a$ の値によって場合分けをして考えます。

(i) $a > 0$ のとき

$f(x) = a(x+2)^2 + a^2 - 4a - 1$

軸は $x=-2$ であり、区間 $-4 \le x \le 1$ に含まれるので、頂点で最大値を取るとは限りません。

$x=1$ のとき $f(1) = a + 4a + a^2 - 1 = a^2 + 5a - 1$

$x=-4$ のとき $f(-4) = 16a - 16a + a^2 - 1 = a^2 - 1$

軸が区間内にあるので、最大値は $x=1$ または $x=-4$ のいずれかとなります。

もし $a^2 + 5a - 1 = 5$ ならば $a^2 + 5a - 6 = 0$ より $(a+6)(a-1) = 0$ 。$a>0$ より $a=1$。

このとき、$f(x) = (x+2)^2 - 4$ であり、$f(1) = 5$, $f(-4) = 0$, $f(-2) = -4$ となり、区間 $-4 \le x \le 1$ での最大値は5なので、$a=1$ は解です。

もし $a^2 - 1 = 5$ ならば $a^2 = 6$ より $a = \sqrt{6}$。

このとき、$f(1) = 6 + 5\sqrt{6} - 1 = 5 + 5\sqrt{6} > 5$ となり矛盾します。

よって $a=\sqrt{6}$ は解ではありません。

(ii) $a < 0$ のとき

軸は $x = -2$ であり、区間 $-4 \le x \le 1$ に含まれます。

このとき、最大値は $x=-2$ のとき $f(-2) = a(-2+2)^2 - 4a + a^2 - 1 = a^2 - 4a - 1$。

$a^2 - 4a - 1 = 5$ ならば $a^2 - 4a - 6 = 0$ より $a = \frac{4 \pm \sqrt{16+24}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$。

$a<0$ より $a = 2 - \sqrt{10}$。

(iii) $a = 0$ のとき

$f(x) = -1$ となり最大値は-1なので不適。

3. 最終的な答え

$a = 1, 2 - \sqrt{10}$