関数 $y = 4^x + 4^{-x} - 2^{x+1} - 2^{1-x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 4^x + 4^{-x} - 2^{x+1} - 2^{1-x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理します。

$y = 4^x + 4^{-x} - 2^{x+1} - 2^{1-x}$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ および $4^{-x} = (2^{-x})^2$ であることを利用します。

また、$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ および $2^{1-x} = 2 \cdot 2^{-x}$ です。

したがって、

$y = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 - 2 \cdot 2^x - 2 \cdot 2^{-x}$

$t = 2^x + 2^{-x}$ とおくと、

$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + (2^{-x})^2 = (2^x)^2 + 2 + (2^{-x})^2$

よって、

$(2^x)^2 + (2^{-x})^2 = t^2 - 2$

また、$2 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{-x} = 2 (2^x + 2^{-x}) = 2t$

これらの関係を元の式に代入すると、

$y = (t^2 - 2) - 2t = t^2 - 2t - 2$

平方完成すると、

$y = (t - 1)^2 - 3$

ここで、$t = 2^x + 2^{-x}$ について考えます。

相加相乗平均の不等式より、$2^x + 2^{-x} \ge 2 \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2 \sqrt{1} = 2$

したがって、$t \ge 2$ です。

$y = (t - 1)^2 - 3$ は $t$ について下に凸な二次関数であり、軸は $t=1$ です。

$t \ge 2$ の範囲で考えるので、$t=2$ のとき最小値をとります。

このときの $y$ の値は、$y = (2 - 1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

$t = 2^x + 2^{-x} = 2$ のとき、$2^x = 2^{-x} = 1$ となるので、$x = 0$

3. 最終的な答え

最小値は $-2$ で、そのときの $x$ の値は $0$ です。