(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ を数学的帰納法で証明する。 (2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ を数学的帰納法で証明する。

はい、承知いたしました。数学的帰納法を用いて、与えられた等式を証明します。

1. 問題の内容

(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ を数学的帰納法で証明する。

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ を数学的帰納法で証明する。

2. 解き方の手順

(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ の証明

(i) $n = 1$ のとき

左辺は $1$、右辺は $1^2 = 1$ より、等式は成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。つまり、

$1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = k^2$ が成り立つと仮定する。

(iii) $n = k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。つまり、

$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2$ を示す。

$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1) - 1) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2(k+1) - 1)$

$= k^2 + (2(k+1) - 1) \quad (\text{帰納法の仮定})$

$= k^2 + 2k + 2 - 1$

$= k^2 + 2k + 1$

$= (k+1)^2$

よって、$n = k+1$ のときも等式は成り立つ。

(i), (ii), (iii) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ が成り立つ。

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ の証明

(i) $n = 1$ のとき

左辺は $1 \cdot 2 = 2$、右辺は $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2$ より、等式は成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。つまり、

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$ が成り立つと仮定する。

(iii) $n = k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。つまり、

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$ を示す。

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + (k+1)(k+2) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2)$

$= \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2) \quad (\text{帰納法の仮定})$

$= (k+1)(k+2) \left( \frac{1}{3}k + 1 \right)$

$= (k+1)(k+2) \left( \frac{k+3}{3} \right)$

$= \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

よって、$n = k+1$ のときも等式は成り立つ。

(i), (ii), (iii) より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ は数学的帰納法によって証明された。

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ は数学的帰納法によって証明された。