$x = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$

代数学式の計算有理化平方根展開因数分解
2025/7/8

1. 問題の内容

x=123x = \frac{1}{2-\sqrt{3}}y=12+3y = \frac{1}{2+\sqrt{3}} のとき、以下の値を求めよ。
(1) x+yx+y
(2) xyxy
(3) x2+y2x^2+y^2

2. 解き方の手順

まず、xxyy の分母を有理化します。
x=123=1232+32+3=2+343=2+3x = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}
y=12+3=12+32323=2343=23y = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}
(1) x+yx+y を求めます。
x+y=(2+3)+(23)=4x+y = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4
(2) xyxy を求めます。
xy=(2+3)(23)=43=1xy = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1
(3) x2+y2x^2+y^2 を求めます。
x2+y2=(x+y)22xy=(4)22(1)=162=14x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (4)^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14

3. 最終的な答え

(1) x+y=4x+y = 4
(2) xy=1xy = 1
(3) x2+y2=14x^2+y^2 = 14

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