与えられた行列の行列式を計算する問題です。特に(6), (7), (8)については3次行列の行列式をSarrusの方法を使わずに計算する必要があります。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を計算する問題です。特に(6), (7), (8)については3次行列の行列式をSarrusの方法を使わずに計算する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 行列がOなので、行列式は0です。

(2) 行列がEなので、行列式は1です。

(3) スカラーなので、行列式は2025です。

(4) スカラーなので、行列式は-2025です。

(5) 2x2の行列なので、行列式は $(1)(-2) - (0)(2) = -2$ です。

(6) 3x3の行列です。サラスの公式は使わずに、余因子展開を利用します。1行目で展開すると：

$det = 1 * det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & 4 \end{pmatrix} - 3 * det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} + (-2) * det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -6 \end{pmatrix}$

$det = 1 * (0*4 - 1*(-6)) - 3 * (1*4 - 1*(-2)) + (-2) * (1*(-6) - 0*(-2))$

$det = 1 * (6) - 3 * (6) + (-2) * (-6)$

$det = 6 - 18 + 12 = 0$

(7) 3x3の行列です。サラスの公式は使わずに、余因子展開を利用します。1行目で展開すると：

$det = 1 * det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} - 3 * det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + 2 * det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$det = 1 * (0*(-1) - 2*1) - 3 * ((-1)*(-1) - 2*2) + 2 * ((-1)*1 - 0*2)$

$det = 1 * (-2) - 3 * (-3) + 2 * (-1)$

$det = -2 + 9 - 2 = 5$

(8) 4x4の行列です。1列目で展開します。

$det = 1 * det \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} - (-1) * det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} + 2 * det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} - 0 * det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

3x3行列を展開します。

$det \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = 2(3*-1 - 1*0) - 3(0*-1 - 1*2) + 1(0*0 - 3*2) = -6 + 6 -6 = -6$

$det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = 1(3*-1 - 1*0) - 0 + 2(0*0 - 3*2) = -3 - 12 = -15$

よって、

$det = 1 * (-6) + 1 * (-15) + 2 * det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = 1(3*-1 - 1*0) - 0 + 2(2*0 - 3*2) = -3 - 12 = -15$

したがって、

$det = -6 - 15 + 2 * (-15) = -6 - 15 - 30 = -51$

(9) 4x4行列の行列式です。

行列式を求める一般的な公式を使う必要があります。

$det(A) = a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4a^2c^2 - 4b^2d^2 + 4a^2bd + 4ac^2d + 4abc^2 + 4bcd^2 - 4abcd$

(10) 4x4行列の行列式です。

行列式を求める一般的な公式を使う必要があります。

$det(A) = a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 2(a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2) + 8abcd$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1

(3) 2025

(4) -2025

(5) -2

(6) 0

(7) 5

(8) -51

(9) $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4a^2c^2 - 4b^2d^2 + 4a^2bd + 4ac^2d + 4abc^2 + 4bcd^2 - 4abcd$

(10) $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 2(a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2) + 8abcd$