$(x-3)^4$ の展開式における $x^2$ の係数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選び、なければ「上記の選択肢は全て正しくない」を選びます。

1. 問題の内容

$(x-3)^4$ の展開式における $x^2$ の係数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選び、なければ「上記の選択肢は全て正しくない」を選びます。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(x-3)^4$ を展開します。二項定理は以下の通りです。

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

この問題では $a = x$, $b = -3$, $n = 4$ です。 $x^2$ の係数を求めるので、$x^{4-k} = x^2$ となる $k$ を探します。つまり、

$4 - k = 2$

$k = 2$

したがって、$x^2$ の項は

$$\binom{4}{2} x^{4-2} (-3)^2 = \binom{4}{2} x^2 (-3)^2$$

$\binom{4}{2}$ を計算します。

$$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! (4-2)!} = \frac{4!}{2! 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$$

また、$(-3)^2 = 9$ なので、$x^2$ の項は

$$6 x^2 (9) = 54 x^2$$

よって、$x^2$ の係数は $54$ です。

3. 最終的な答え

54