与えられた方程式 $x^2 - 2x + 16y^2 - 64y + 49 = 0$ がどのような曲線を表すかを答え、その概形を下の選択肢から選びます。ただし、途中計算の空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^2 - 2x + 16y^2 - 64y + 49 = 0$ がどのような曲線を表すかを答え、その概形を下の選択肢から選びます。ただし、途中計算の空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を平方完成します。

$x^2 - 2x + 16y^2 - 64y + 49 = 0$

$(x^2 - 2x) + 16(y^2 - 4y) + 49 = 0$

$x$に関する平方完成は、

$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$

よって、最初の空欄は1です。

$y$に関する平方完成は、

$y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4$

$16(y^2 - 4y) = 16((y-2)^2 - 4) = 16(y-2)^2 - 64$

したがって、与えられた式は

$(x - 1)^2 - 1 + 16(y - 2)^2 - 64 + 49 = 0$

$(x - 1)^2 + 16(y - 2)^2 = 1 + 64 - 49 = 16$

$(x - 1)^2 + 16(y - 2)^2 = 16$

2番目の空欄は16です。３番目の空欄は2です。

両辺を16で割ると、

$\frac{(x - 1)^2}{16} + \frac{(y - 2)^2}{1} = 1$

したがって、4番目の空欄は2です。

これは楕円の方程式です。楕円の中心は $(1, 2)$ であり、$x$軸方向の半径は $\sqrt{16} = 4$、$y$軸方向の半径は $\sqrt{1} = 1$ です。

選択肢から、該当する楕円の概形は、y軸方向に半径が小さい楕円であるので、②が最も近いと考えられます。

3. 最終的な答え

1: 1

2: 16

3: 2

4: 2

5: 16

6: 2

7: 16

8: 1

9: ②