与えられた5つの問題は、2次関数とそのグラフに関するものです。 * 問1: $y = 15x^2 - 0.75x + 9$ のグラフがx軸とどのように交わるか (2点で交わるか、1点で接するか、交わらないか) を答える。 * 問2: $y = 2x^2 + 4x + m$ がx軸と2点で交わるような $m$ の範囲を求める。 * 問3: $y = mx^2 + 2mx - 9$ がx軸と1点で接するような $m$ の値を求める。 * 問4: $y = x^2 + mx - 2m$ がx軸と交わらないような $m$ の値を求める。 * 問5: 点 (0, 0), (6, 0), (4, -8) を通る放物線の式を求める。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題は、2次関数とそのグラフに関するものです。

* 問1: $y = 15x^2 - 0.75x + 9$ のグラフがx軸とどのように交わるか (2点で交わるか、1点で接するか、交わらないか) を答える。

* 問2: $y = 2x^2 + 4x + m$ がx軸と2点で交わるような $m$ の範囲を求める。

* 問3: $y = mx^2 + 2mx - 9$ がx軸と1点で接するような $m$ の値を求める。

* 問4: $y = x^2 + mx - 2m$ がx軸と交わらないような $m$ の値を求める。

* 問5: 点 (0, 0), (6, 0), (4, -8) を通る放物線の式を求める。

2. 解き方の手順

問1:

2次方程式 $15x^2 - 0.75x + 9 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$ で、$a = 15$, $b = -0.75$, $c = 9$ です。

$D = (-0.75)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 9 = 0.5625 - 540 = -539.4375$

$D < 0$ なので、x軸と交わらない。

問2:

2次方程式 $2x^2 + 4x + m = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$ で、$a = 2$, $b = 4$, $c = m$ です。

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = 16 - 8m$

x軸と2点で交わるためには、$D > 0$ である必要があります。

$16 - 8m > 0$

$16 > 8m$

$m < 2$

問3:

2次方程式 $mx^2 + 2mx - 9 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$ で、$a = m$, $b = 2m$, $c = -9$ です。

$D = (2m)^2 - 4 \cdot m \cdot (-9) = 4m^2 + 36m$

x軸と1点で接するためには、$D = 0$ である必要があります。また、$m=0$のとき2次関数にならないため$m \neq 0$である必要があります。

$4m^2 + 36m = 0$

$4m(m + 9) = 0$

$m = 0, -9$

$m = -9$

問4:

2次方程式 $x^2 + mx - 2m = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$ で、$a = 1$, $b = m$, $c = -2m$ です。

$D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2m) = m^2 + 8m$

x軸と交わらないためには、$D < 0$ である必要があります。

$m^2 + 8m < 0$

$m(m + 8) < 0$

$-8 < m < 0$

問5:

求める放物線の式を $y = ax^2 + bx + c$ とします。

点 (0, 0) を通るので、$c = 0$。

点 (6, 0) を通るので、$36a + 6b = 0$。つまり、$6a + b = 0$。

点 (4, -8) を通るので、$16a + 4b = -8$。つまり、$4a + b = -2$。

$6a + b = 0$ より、$b = -6a$。

$4a + b = -2$ に代入すると、$4a - 6a = -2$。つまり、$-2a = -2$。よって、$a = 1$。

$b = -6a$ より、$b = -6$。

したがって、$y = x^2 - 6x$。

3. 最終的な答え

* 問1: 3

* 問2: $m < 2$

* 問3: $m = -9$

* 問4: $-8 < m < 0$

* 問5: $y = x^2 - 6x$