数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 4n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。$a_n$ は $a_n = \boxed{ア}n + \boxed{イ}$ の形で表されます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 4n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。$a_n$ は $a_n = \boxed{ア}n + \boxed{イ}$ の形で表されます。

2. 解き方の手順

$n \geq 2$ のとき、 $a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

$S_n = n^2 + 4n$ なので、

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 4(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 4n - 4 = n^2 + 2n - 3$ となります。

よって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 4n) - (n^2 + 2n - 3) = 2n + 3$ となります。

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 4 \cdot 1 = 5$ となります。

$a_n = 2n + 3$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$ となり、$n = 1$ の場合も $a_n = 2n + 3$ が成り立ちます。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 2n + 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 3$