次の方程式を解く問題です。 $\log_2 x + \log_2(x + 2) = 3$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

$\log_2 x + \log_2(x + 2) = 3$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて、左辺をまとめます。

$\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$ の性質を用いると、

$\log_2 x + \log_2(x + 2) = \log_2(x(x+2))$

したがって、与えられた方程式は

$\log_2(x(x+2)) = 3$

となります。

次に、対数の定義を用いて、対数関数を指数関数に書き換えます。

$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$

これを用いると、

$x(x+2) = 2^3$

$x(x+2) = 8$

$x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x + 4)(x - 2) = 0$

したがって、$x = -4$ または $x = 2$ です。

しかし、対数関数は真数が正でなければならないため、$x > 0$ かつ $x+2 > 0$ である必要があります。

$x = -4$ は $x > 0$ を満たさないので、解ではありません。

$x = 2$ は $x > 0$ かつ $x + 2 > 0$ を満たすので、解です。

3. 最終的な答え

$x = 2$