次の不等式を解く問題です。 (1) $\log_3 (2x+1) \geq 2$ (2) $\log_3 (2x+1) \leq 2$

1. 問題の内容

次の不等式を解く問題です。

(1) $\log_3 (2x+1) \geq 2$

(2) $\log_3 (2x+1) \leq 2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3 (2x+1) \geq 2$

まず、真数条件から $2x+1 > 0$、つまり $x > -\frac{1}{2}$が必要です。

次に、不等式を変形します。

$\log_3 (2x+1) \geq 2$ は $\log_3 (2x+1) \geq \log_3 3^2$ と書き換えられます。

底が3で1より大きいので、真数を比較すると、

$2x+1 \geq 3^2$

$2x+1 \geq 9$

$2x \geq 8$

$x \geq 4$

真数条件 $x > -\frac{1}{2}$ と $x \geq 4$ の両方を満たす範囲は $x \geq 4$ です。

(2) $\log_3 (2x+1) \leq 2$

まず、真数条件から $2x+1 > 0$、つまり $x > -\frac{1}{2}$が必要です。

次に、不等式を変形します。

$\log_3 (2x+1) \leq 2$ は $\log_3 (2x+1) \leq \log_3 3^2$ と書き換えられます。

底が3で1より大きいので、真数を比較すると、

$2x+1 \leq 3^2$

$2x+1 \leq 9$

$2x \leq 8$

$x \leq 4$

真数条件 $x > -\frac{1}{2}$ と $x \leq 4$ の両方を満たす範囲は $-\frac{1}{2} < x \leq 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x \geq 4$

(2) $-\frac{1}{2} < x \leq 4$