与えられた3つの式を指数法則を用いて計算します。ただし、$a > 0$とします。 (1) $\sqrt{\sqrt[3]{a^2}}$ (2) $\sqrt[5]{a^3} \times \frac{1}{\sqrt{a}}$ (3) $\frac{a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a^5}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を指数法則を用いて計算します。ただし、$a > 0$とします。

(1) $\sqrt{\sqrt[3]{a^2}}$

(2) $\sqrt[5]{a^3} \times \frac{1}{\sqrt{a}}$

(3) $\frac{a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a^5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{\sqrt[3]{a^2}}$

まず、根号を指数に変換します。

$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt{\sqrt[3]{a^2}} = \sqrt{a^{\frac{2}{3}}} = (a^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}}$

(2) $\sqrt[5]{a^3} \times \frac{1}{\sqrt{a}}$

根号を指数に変換します。

$\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{-\frac{1}{2}}$

したがって、

$\sqrt[5]{a^3} \times \frac{1}{\sqrt{a}} = a^{\frac{3}{5}} \times a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{6}{10} - \frac{5}{10}} = a^{\frac{1}{10}}$

(3) $\frac{a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a^5}}$

根号を指数に変換します。

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

したがって、

$\frac{a\sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a^5}} = \frac{a \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{a^{1 + \frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}} = \frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{8}{6} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $a^{\frac{1}{3}}$

(2) $a^{\frac{1}{10}}$

(3) $a^{\frac{1}{2}}$