次の2つの対数方程式を解きます。 (1) $\log_3 x - \log_3 (x - 1) = 2$ (2) $\log_4 (x + 2) + \log_4 (x - 1) = 1$

代数学対数対数方程式方程式真数条件
2025/7/8

1. 問題の内容

次の2つの対数方程式を解きます。
(1) log3xlog3(x1)=2\log_3 x - \log_3 (x - 1) = 2
(2) log4(x+2)+log4(x1)=1\log_4 (x + 2) + \log_4 (x - 1) = 1

2. 解き方の手順

(1) 対数方程式 log3xlog3(x1)=2\log_3 x - \log_3 (x - 1) = 2 を解きます。
真数条件より、x>0x > 0 かつ x1>0x - 1 > 0、すなわち x>1x > 1が必要です。
対数の性質より、
log3xlog3(x1)=log3xx1\log_3 x - \log_3 (x - 1) = \log_3 \frac{x}{x - 1}
なので、方程式は
log3xx1=2\log_3 \frac{x}{x - 1} = 2
となります。これを指数形式に変換すると
xx1=32=9\frac{x}{x - 1} = 3^2 = 9
x=9(x1)x = 9(x - 1)
x=9x9x = 9x - 9
8x=98x = 9
x=98x = \frac{9}{8}
98>1\frac{9}{8} > 1なので、これは真数条件を満たします。
(2) 対数方程式 log4(x+2)+log4(x1)=1\log_4 (x + 2) + \log_4 (x - 1) = 1 を解きます。
真数条件より、x+2>0x + 2 > 0 かつ x1>0x - 1 > 0、すなわち x>2x > -2 かつ x>1x > 1。したがって、x>1x > 1が必要です。
対数の性質より、
log4(x+2)+log4(x1)=log4((x+2)(x1))\log_4 (x + 2) + \log_4 (x - 1) = \log_4 ((x + 2)(x - 1))
なので、方程式は
log4((x+2)(x1))=1\log_4 ((x + 2)(x - 1)) = 1
となります。これを指数形式に変換すると
(x+2)(x1)=41=4(x + 2)(x - 1) = 4^1 = 4
x2+2xx2=4x^2 + 2x - x - 2 = 4
x2+x6=0x^2 + x - 6 = 0
(x+3)(x2)=0(x + 3)(x - 2) = 0
x=3,2x = -3, 2
真数条件 x>1x > 1 より、x=2x = 2のみが解となります。

3. 最終的な答え

(1) x=98x = \frac{9}{8}
(2) x=2x = 2

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