$x$ と $y$ が実数であるとき、「$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x + y \le \sqrt{2}$」を証明せよ。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が実数であるとき、「$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x + y \le \sqrt{2}$」を証明せよ。

2. 解き方の手順

この問題は、コーシー・シュワルツの不等式を利用して解くことができます。

コーシー・シュワルツの不等式は、実数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ および $b_1, b_2, \dots, b_n$ に対して、

$(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2$

が成り立つというものです。

今回は、$n = 2$ の場合を考えます。$a_1 = x$, $a_2 = y$, $b_1 = 1$, $b_2 = 1$ とすると、コーシー・シュワルツの不等式は、

$(x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \ge (x \cdot 1 + y \cdot 1)^2$

となります。これを整理すると、

$2(x^2 + y^2) \ge (x + y)^2$

となります。ここで、$x^2 + y^2 \le 1$ という条件があるので、

$2(x^2 + y^2) \le 2 \cdot 1 = 2$

したがって、

$(x + y)^2 \le 2$

となります。両辺の平方根をとると、

$|x + y| \le \sqrt{2}$

となります。これは、$-\sqrt{2} \le x + y \le \sqrt{2}$ を意味します。特に、$x + y \le \sqrt{2}$ が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

したがって、$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x + y \le \sqrt{2}$ が成り立つ。