放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ を指定された平行移動させたときの放物線の方程式を求める問題です。 (1) は $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-3$ 平行移動させた場合。 (2) は $x$ 軸方向に $-5$, $y$ 軸方向に $2$ 平行移動させた場合。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ を指定された平行移動させたときの放物線の方程式を求める問題です。

(1) は $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-3$ 平行移動させた場合。

(2) は $x$ 軸方向に $-5$, $y$ 軸方向に $2$ 平行移動させた場合。

2. 解き方の手順

平行移動の公式を利用します。

$x$軸方向に$p$, $y$軸方向に$q$だけ平行移動する場合、$x$を$x-p$、$y$を$y-q$で置き換えます。

(1) $x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動するので、$x$を$x-1$, $y$を$y-(-3)=y+3$で置き換えます。

$y+3 = 2(x-1)^2 - 4(x-1) + 3$

$y+3 = 2(x^2 - 2x + 1) - 4x + 4 + 3$

$y+3 = 2x^2 - 4x + 2 - 4x + 7$

$y = 2x^2 - 8x + 6$

(2) $x$軸方向に$-5$, $y$軸方向に$2$だけ平行移動するので、$x$を$x-(-5)=x+5$, $y$を$y-2$で置き換えます。

$y-2 = 2(x+5)^2 - 4(x+5) + 3$

$y-2 = 2(x^2 + 10x + 25) - 4x - 20 + 3$

$y-2 = 2x^2 + 20x + 50 - 4x - 17$

$y = 2x^2 + 16x + 35$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 8x + 6$

(2) $y = 2x^2 + 16x + 35$