$x = \frac{-1 + \sqrt{7}i}{2}$ のとき、$x^3 + 4x^2 + 7x + 8$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{-1 + \sqrt{7}i}{2}$ のとき、$x^3 + 4x^2 + 7x + 8$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の式を変形して、$x$ に関する関係式を求めます。

$x = \frac{-1 + \sqrt{7}i}{2}$ より、$2x = -1 + \sqrt{7}i$ となります。

したがって、$2x + 1 = \sqrt{7}i$ です。

両辺を2乗すると、

$(2x + 1)^2 = (\sqrt{7}i)^2$

$4x^2 + 4x + 1 = -7$

$4x^2 + 4x + 8 = 0$

$x^2 + x + 2 = 0$

次に、$x^3 + 4x^2 + 7x + 8$ を $x^2 + x + 2$ で割ります。

$x^3 + 4x^2 + 7x + 8 = (x^2 + x + 2)(x + 3) + (2x + 2)$

$x^2 + x + 2 = 0$ なので、

$x^3 + 4x^2 + 7x + 8 = 2x + 2$

$x = \frac{-1 + \sqrt{7}i}{2}$ を代入すると、

$2x + 2 = 2(\frac{-1 + \sqrt{7}i}{2}) + 2 = -1 + \sqrt{7}i + 2 = 1 + \sqrt{7}i$

3. 最終的な答え

$1 + \sqrt{7}i$