行列 $A = \begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) 与えられたベクトルが、行列 $A$ の固有ベクトルであるかどうかを判定し、もしそうなら対応する固有値を求める。 (2) 与えられたスカラーに対して、対応する行列 $A$ の固有ベクトルをすべて求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) 与えられたベクトルが、行列 $A$ の固有ベクトルであるかどうかを判定し、もしそうなら対応する固有値を求める。

(2) 与えられたスカラーに対して、対応する行列 $A$ の固有ベクトルをすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられたベクトル $\vec{v}$ が行列 $A$ の固有ベクトルであるかどうかを確認するには、$A\vec{v} = \lambda \vec{v}$ となるスカラー $\lambda$ が存在するかどうかを確認する。

a) $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ の場合:

$A\vec{v} = \begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8(3) + (-9)(2) \\ 6(3) + (-7)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 - 18 \\ 18 - 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = 2\vec{v}$.

したがって、$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ は固有値 $\lambda = 2$ の固有ベクトルである。

b) $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ の場合:

$A\vec{v} = \begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8(1) + (-9)(-1) \\ 6(1) + (-7)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 + 9 \\ 6 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 13 \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} 17 \\ 13 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ のスカラー倍ではないので、$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ は $A$ の固有ベクトルではない。

c) $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の場合:

$A\vec{v} = \begin{pmatrix} 8 & -9 \\ 6 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8(1) + (-9)(1) \\ 6(1) + (-7)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 9 \\ 6 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \vec{v}$.

したがって、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は固有値 $\lambda = -1$ の固有ベクトルである。

(2) 固有ベクトルを求めるには、$(A - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ を解く。

a) $\lambda = -1$ の場合:

$A - (-1)I = \begin{pmatrix} 8+1 & -9 \\ 6 & -7+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -9 \\ 6 & -6 \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} 9 & -9 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求める。

$9x - 9y = 0 \implies x = y$.

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($t \neq 0$) が固有ベクトルである。

b) $\lambda = 1$ の場合:

$A - 1I = \begin{pmatrix} 8-1 & -9 \\ 6 & -7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -9 \\ 6 & -8 \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} 7 & -9 \\ 6 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求める。

$7x - 9y = 0 \implies x = \frac{9}{7}y$.

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix}$ ($t \neq 0$) が固有ベクトルである。

c) $\lambda = 2$ の場合:

$A - 2I = \begin{pmatrix} 8-2 & -9 \\ 6 & -7-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 6 & -9 \end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 6 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求める。

$6x - 9y = 0 \implies 6x = 9y \implies x = \frac{3}{2}y$.

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ ($t \neq 0$) が固有ベクトルである。

3. 最終的な答え

(1)

a) $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ は固有値 $2$ の固有ベクトルである。

b) $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ は固有ベクトルではない。

c) $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は固有値 $-1$ の固有ベクトルである。

(2)

a) $\lambda = -1$ の固有ベクトル: $t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($t \neq 0$)

b) $\lambda = 1$ の固有ベクトル: $t\begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix}$ ($t \neq 0$)

c) $\lambda = 2$ の固有ベクトル: $t\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ ($t \neq 0$)