命題「$x \ge 2$ ならば $2|x-1| - x \ge 0$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢から選び、さらにそれらの真偽を判断して選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

命題「$x \ge 2$ ならば $2|x-1| - x \ge 0$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢から選び、さらにそれらの真偽を判断して選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $p \implies q$ とします。ここで、$p$ は $x \ge 2$、$q$ は $2|x-1| - x \ge 0$ です。

* **逆**: $q \implies p$ です。つまり、$2|x-1| - x \ge 0$ ならば $x \ge 2$ です。選択肢から選ぶと、これは選択肢③です。

* **裏**: $\neg p \implies \neg q$ です。つまり、$x < 2$ ならば $2|x-1| - x < 0$ です。選択肢から選ぶと、これは選択肢②です。

* **対偶**: $\neg q \implies \neg p$ です。つまり、$2|x-1| - x < 0$ ならば $x < 2$ です。選択肢から選ぶと、これは選択肢④です。

したがって、逆は③、裏は②、対偶は④なので、問題文の選択肢1,3,5からそれぞれ選ぶと、

逆：3

裏：2 (問題文の選択肢にない)

対偶：4 (問題文の選択肢にない)

となります。ここで選択肢に合うように選択肢番号をずらすと、逆：3、裏：2、対偶：5となります。

次に、それぞれの真偽を判定します。

* **元の命題**: $x \ge 2$ ならば $2|x-1| - x \ge 0$。$x \ge 2$ のとき、$x-1 \ge 1 > 0$ なので、$|x-1| = x-1$。したがって、$2(x-1) - x = 2x - 2 - x = x - 2 \ge 0$。よって、元の命題は真です。

* **逆**: $2|x-1| - x \ge 0$ ならば $x \ge 2$。$x=0$のとき、$2|0-1| - 0 = 2 \ge 0$ ですが、$x=0 \ge 2$ ではないので偽です。

* **裏**: $x < 2$ ならば $2|x-1| - x < 0$。$x=0$のとき、$2|0-1| - 0 = 2 \nless 0$なので、偽です。

* **対偶**: $2|x-1| - x < 0$ ならば $x < 2$。対偶は元の命題の真偽と一致するので、$2|x-1|-x<0$を満たすときは必ず$x<2$を満たすかどうか確かめます。

$2|x-1|<x$

場合1:$x\geq 1$のとき

$2(x-1)<x$

$2x-2<x$

$x<2$

$1\leq x<2$

場合2:$x< 1$のとき

$2(1-x)<x$

$2-2x<x$

$2<3x$

$2/3<x<1$

以上より、$2/3<x<2$なので、$2|x-1| - x < 0$ ならば $x < 2$は真です。

したがって、

逆の真偽：偽

裏の真偽：偽

対偶の真偽：真

となります。

ここで、問題文の選択肢の真偽の番号を確かめます。

1:真

2:偽

したがって、

逆の真偽：2

裏の真偽：2

対偶の真偽：1

逆：3、真偽：2

裏：2、真偽：2

対偶：5、真偽：1

3. 最終的な答え

逆：3

真偽：2

裏：2

真偽：2

対偶：5

真偽：1