$A$ を、原点を通る方向 $\vec{p_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ の直線に対する、方向 $\vec{p_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に沿った射影を表す2次正方行列とします。 (a) $A\vec{p_1}$ および $A\vec{p_2}$ を、$\vec{p_1}, \vec{p_2}$ を用いて答えてください。 (b) その結果から、行列 $P^{-1}AP$ を具体的に求めてください。ただし、$P = (\vec{p_1} \ \vec{p_2})$です。 (c) (b)の結果から行列 $A$ を具体的に求めてください。

1. 問題の内容

$A$ を、原点を通る方向 $\vec{p_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ の直線に対する、方向 $\vec{p_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に沿った射影を表す2次正方行列とします。

(a) $A\vec{p_1}$ および $A\vec{p_2}$ を、$\vec{p_1}, \vec{p_2}$ を用いて答えてください。

(b) その結果から、行列 $P^{-1}AP$ を具体的に求めてください。ただし、$P = (\vec{p_1} \ \vec{p_2})$です。

(c) (b)の結果から行列 $A$ を具体的に求めてください。

2. 解き方の手順

(a) 射影の定義を考えます。$\vec{p_1}$ は射影される直線上の点なので、$A\vec{p_1} = \vec{p_1}$ となります。$\vec{p_2}$ は $\vec{p_1}$ が張る直線に沿って射影される方向なので、$A\vec{p_2} = \vec{0}$ となります。

(b) 行列 $P = (\vec{p_1} \ \vec{p_2})$ を定義します。すると、

$AP = (A\vec{p_1} \ \ A\vec{p_2}) = (\vec{p_1} \ \ \vec{0})$

となります。したがって、$P^{-1}AP = P^{-1} (\vec{p_1} \ \ \vec{0})$ です。ここで、$P^{-1} \vec{p_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、 $P^{-1} \vec{p_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ なので、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$となります。

(c) $A = P(P^{-1}AP)P^{-1}$ を計算することで、$A$を求めることができます。

まず、$P = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ なので、$\det P = 3 - 2 = 1$ となり、$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ です。

したがって、

$$$$

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}

$$$$

3. 最終的な答え

(a) $A\vec{p_1} = \vec{p_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}, \ \ A\vec{p_2} = \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

(b) $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(c) $A = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$